课时作业(55) 椭圆及其简单几何性质（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(五十五)　椭圆及其简单几何性质 [基础保分练] 1．(2023·泸县校级期末)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1或＋＝1 D．＋＝1 答案：C 2．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 答案：B 3．线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，|PM|的最小值是(　　) A．5 B． C．2 D． 答案：B 4．(2024·湖南株洲一模)如图为学生做手工时画的椭圆C1，C2，C3(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为e1，e2，e3，则(　　) A．e1＝e2<e3 B．e2＝e3<e1 C．e1＝e2>e3 D．e2＝e3>e1 答案：D 5．(2023·重庆八中模拟)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F(c，0)(c>0)，点A(－c，c)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝9c，则椭圆E的离心率取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：D 6．(多选)已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆C的离心率为，且过点(2，1)，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：AC 7.(多选)(2024·重庆第八中学模拟)如图所示，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则(　　) A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是＋＝1 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2 答案：BCD 8．已知A(1，)，F是椭圆C：＋＝1的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为__________． 答案：4　解析：设椭圆C的右焦点为F′，依题意，F′(2，0)，由椭圆的定义得|PF|＋|PF′|＝6， 而||PA|－|PF′||≤|AF′|＝＝2，即－2≤|PA|－|PF′|≤2，有|PF′|－2≤|PA|≤2＋|PF′|， 因此，|PA|＋|PF|≥|PF|＋|PF′|－2＝4，当且仅当点P是线段F′A的延长线与椭圆C的交点时取“＝”， 所以|PA|＋|PF|的最小值为4. 9．(2023·黑龙江实验中学模拟)过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于AB两点，若|AF|∶|BF|＝2∶3，且直线倾斜角为，则椭圆的离心率为________． 答案：　解析：设准线与x轴的交点为M，过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，过A作AH⊥BD，垂足为H，如图所示，设|AB|＝5t(t>0)，因为|AF|∶|BF|＝2∶3，则|AF|＝2t，|BF|＝3t.又因为AB的倾斜角为，所以∠ABH＝，则|BH|＝|AB|＝t.又由椭圆的第二定义，可得|AC|＝＝，|BD|＝＝，所以|BH|＝t－t＝t＝t，解得e＝，故椭圆的离心率为. 10．已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|. (1)求点P的轨迹方程； (2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积． 解：(1)依题意知|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4＞|F1F2|， ∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，2a＝4，2c＝2， ∴a＝2，c＝1，b＝. 故所求P点的轨迹方程为＋＝1. (2)设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4. 在△PF1F2中，由余弦定理得， |F1F2|2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2， ∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 60°)，解得mn＝4. ∴＝mn sin ∠F1PF2＝mnsin 60°＝． [技能提分练] 11．已知A(x0，y0)是函数y＝b(a>b>0)的图象上一点，设B，则|AB|＋y0的最大值(　　) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，但与b有关 D．与a无关，且与b无关 答案：B 12．(2023·宁夏银川一中模拟)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其长轴长为4，且离心率为，在椭圆C1上任取一点P，过点P作圆C2：x2＋(y＋3)2＝2的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则·的最小值为(　　) A．－2 B．－ C．4－6 D．0 答案：D 13．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－2，0)，F2(2，0)，A(－1，1)，若动点P满足|PF1|＋|PF2|＝6，则(　　) A．存在点P，使得|PF2|＝1 B．△PF1F2面积的最大值为4 C．对任意的点P，都有|PA|＋|PF2|>5 D．椭圆上存在2个点P，使得△PAF1的面积为 答案：AD 14．已知点A为椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点，O为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足∠APO＝30°，则椭圆离心率的最大值为____________． 答案：　解析：由对称性不妨设P在x轴上方，如图所示，设P(c，m)，m>0，∠POF＝α，∠PAF＝β， ∴tan ∠APO＝tan (α－β)＝ ＝＝≤，当且仅当m＝时取等号， ∵直线l上存在点P满足∠APO＝30°， ∴(tan ∠APO)max≥， 即≥， ∴4e2＋4e－3≤0，即(2e－1)(2e＋3)≤0， ∴0<e≤，故椭圆离心率的最大值为. 15．(2024·重庆长寿中学模拟)如图，地面上有一个球，其中球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡(当成质点)，灯泡与地面的距离为3个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，椭圆的顶点到A点的距离最短时为1个单位长度，则这个椭圆的离心率为________． 答案：　解析：如图以A为原点建立平面直角坐标系，由题意可知|NQ|＝a＋c，|QR|＝a－c，因此只需要求出N，Q，R的横坐标即可，由题可得P(0，3)，R(－1，0)，则PR：3x－y＋3＝0，kPR＝3，设M(n，1)，Q(n，0)(n<0)，则M到PR的距离d1＝＝1，解得n＝，则|QR|＝－1＝＝a－c，又设PN：kx－y＋3＝0，则M到PN或PR的距离d2＝＝1⇒(n2－1)k2＋4nk＋3＝0， ∴kPR·kPN＝，则kPN＝，则xN＝＝3－3n2， ∴a＋c＝|NQ|＝3n2＋n－3＝＋1，所以解得a＝，c＝， ∴离心率e＝＝. 16．(2023·宁夏银川一中模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)点P(x0，y0)(y0≠0)为椭圆C上一动点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的平分线PM交椭圆C的长轴于点M(m，0)，求实数m的取值范围． 解：(1)将x＝c代入＋＝1中，由a2－c2＝b2可得y2＝，所以过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为， 故有解得 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设点P(x0，y0)(y0≠0)，又F1(－，0)，F2(，0)， 则直线PF1，PF2的方程分别为l1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0；l2：y0x－(x0－)y－y0＝0. 由题意可知 ＝. 由于点P为椭圆C上除长轴端点外的任一点， 所以＋y＝1，y0≠0， 所以＝，因为－<m<，－2<x0<2， 所以＝，即m＝x0，因此－<m<.故实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$