课时作业(54) 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(五十四)　直线与圆、圆与圆的位置关系 [基础保分练] 1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则a的值为(　　) A．± B．±5 C．3 D．±3 答案：B 2．(2023·敦化期末)与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案：C 3．已知M(3，0)是圆x2＋y2－8x－2y＋8＝0内一点，则过点M最短的弦长为(　　) A．2 B． C．6 D．8 答案：A 4．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7 C　解析：根据题意，x2＋y2－4x－2y－4＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝9，其几何意义是以(2，1)为圆心，半径为3的圆， 设z＝x－y，变形可得x－y－z＝0，其几何意义为直线x－y－z＝0， 直线y＝x－z与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9有公共点，则有≤3，解得1－3≤z≤1＋3， 故x－y的最大值为1＋3. 5．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C． D． 答案：B 6．(多选)阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262～190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有圆C：(x－t)2＋[y－2(t－2)]2＝1和点Q(0，3)，若圆C上存在点P，使＝2(其中O为坐标原点)，则t的取值可以是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：AB 7．(多选)(2023·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为(　　) A．直线l与圆C可能相离 B．直线l不可能将圆C的周长平分 C．当k＝1时，直线l被圆C截得的弦长为 D．直线l被圆C截得的最短弦长为4 答案：BD 8．过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________． 答案：　解析：由题意，得圆心为O(0，0)，半径为1.如图所示， ∵P(1，)，∴PB⊥x轴，|PA|＝|PB|＝.∴△POA为直角三角形，其中|OA|＝1，|AP|＝，则|OP|＝2， ∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°，∴·＝||·||·cos ∠APB＝××cos 60°＝. 9．过直线x－y－m＝0上动点P作圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1的一条切线，切点为A，若使得|PA|＝1的点P有两个，则实数m的取值范围为____________. 答案：(－3，1)　解析：由题意知，使得|PA|＝1的点P有两个，即使得|PM|＝＝的点P有两个，即圆心到直线的距离小于.又圆心M到直线x－y－m＝0的距离d＝＝，故<，即－2<m＋1<2，即m∈(－3，1). 10．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； (2)证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． (1)解：不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的两根，所以x1x2＝－2，又点C的坐标为(0，1)，则·＝(－x1，1)·(－x2，1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC的情况． (2)证明：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由x1x2＝－2可知原点O在圆内，则由相交弦定理可得|OC|·|OD|＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝2. 又|OC|＝1，所以|OD|＝2，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值． [技能提分练] 11．直线y＝x＋m与圆x2＋y2＝16交于不同的两点M，N，且||≥|＋|，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是(　　) A.(－2，－]∪[，2) B．(－4，－2]∪[2，4) C．[－2，2] D．[－2，2] 答案：D 12．若直线y＝k(x＋1)与曲线y＝1＋仅有一个公共点，则k的取值范围是(　　) A．∪{0} B．∪{0} C．∪ D．∪ 答案：D 13．(多选)已知直线l：x－y＋5＝0，过直线上任意一点M作圆C：(x－3)2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则有(　　) A．四边形MACB面积的最小值为4 B．∠AMB最大度数为60° C．直线AB过定点 D．|AB|的最小值为 答案：AD 14．已知线段AB的长为2，动点C满足·＝λ(常数)，且点C总不在以点B为圆心，半径为的圆内，则负数λ的取值范围是________． 答案：　解析：设A(－1，0)，B(1，0)，C(x，y)，由已知可得(x＋1)(x－1)＋y2＝λ，所以x2＋y2＝1＋λ， 所以 解得－1≤λ≤－. 15.(2023·安徽合肥模拟)如图所示，已知曲线C1的方程为x2＋y2＝1，过平面上一点P1作C1的两条切线，切点分别为A1，B1且满足∠A1P1B1＝60°，记P1的轨迹为C2，过一点P2作C2的两条切线，切点分别为A2，B2且满足∠A2P2B2＝60°，记P2的轨迹为C3，按上述规律一直进行下去…，设点An与An＋1之间距离的最大值为an，求a2 023的值． 解：由圆的切线性质知|OP1|＝2|OA1|＝2，设P1(x，y)，可得方程C2：x2＋y2＝4，同理，|OP2|＝2|OA2|＝4，可得P2的方程C3为x2＋y2＝16，由此规律可得Pn的方程Cn＋1为x2＋y2＝(2n)2，点An与An＋1分别在圆Cn与Cn＋1上，它是同心圆，半径分别为2n－1，2n，由圆的均匀对称性可知当且仅当它们的圆心O在线段AnAn＋1上时，|AnAn＋1|max＝2n－1＋2n，所以设点An与An＋1之间距离的最大值an＝|AnAn＋1|max＝2n－1＋2n＝3·2n－1，由此得a2023＝3×22022. 16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2). (1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求直线l的方程； (2)圆C上是否存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由． 解：(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2. 因为l∥AB，且A(－1，0)，B(1，2)， 所以直线l的斜率为＝1. 设直线l的方程为x－y＋m＝0， 则圆心C到直线l的距离为d＝＝. 因为|MN|＝|AB|＝＝2， 而|CM|2＝d2＋，所以4＝＋2， 解得m＝0或m＝－4， 所以直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0. (2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4， 所以|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12， 整理得x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4. 因为|2－2|<<2＋2， 所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交， 所以点P的个数为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$