课时作业(53) 圆的方程（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(五十三)　圆的方程 [基础保分练] 1．(2023·天津南开区高三月考)若方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示的曲线为圆，则m满足(　　) A．<m<1 B．m<或m>1 C．m< D．m>1 答案：B　 2．(2023·广西模拟)已知圆C的圆心为(1，0)，且与直线y＝2相切，则圆C的方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x＋1)2＋y2＝2 答案：A　 3．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A(2，0)，B(3，2－)，C(1，2＋)，D(4，a)，若它们都在同一个圆周上，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D． 答案：C　 4．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的答案是：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P，Q的坐标分别是(2，0)，(4，0)，R是y轴正半轴上的一动点，当∠PRQ最大时，点R的纵坐标为(　　) A．1 B． C．2 D．2 答案：C　 5．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，满足|AP|＝1，则|BP|2的最大值是(　　) A．13＋4 B．13 C．2＋1 D．13－4 答案：A　 6．(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　) A．的最大值为 B．的最小值为－ C．的最大值为 D．的最小值为－ 答案：CD 7．(2023·上海卷)已知圆x2＋y2－4x－m＝0的面积为π，则m＝________． 答案：－3　解析：圆x2＋y2－4x－m＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4＋m， ∵圆的面积为π，∴圆的半径为1， ∴4＋m＝1，∴m＝－3. 8．河北省赵县的赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥之一，赵州桥的跨度约为37.4 m，圆拱高约为7.2 m．如图建立直角坐标系，则该圆拱所在圆的标准方程是____________．(数值精确到0.1 m) 答案：x2＋(y＋20.7)2＝27.92　解析：根据题意，设圆的圆心为D，圆的半径为r，如图， 由题意，|AB|＝37.4 m，|CO|＝7.2 m，|AO|＝|AB|＝18.7 m，在Rt△ADO中，r2＝18.72＋(r－7.2)2，解得r≈27.9 m，所求圆的方程为x2＋(y＋20.7)2＝27.92. 9．(2023·哈尔滨三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝4上有且只有三个点到直线l：ax＋2y＋1＝0的距离为1，则a＝________． 答案：　解析：由圆C：(x－1)2＋y2＝4，可得圆心C(1，0)，半径等于2， 圆心C到直线l：ax＋2y＋1＝0的距离为d＝， 要使圆C：(x－1)2＋y2＝4上有且只有三个点到直线l：ax＋2y＋1＝0的距离为1， 则d＝1，即＝1，解得a＝. 10．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|. (1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程； (2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2，化简可得(x－5)2＋y2＝16，所求曲线的方程为(x－5)2＋y2＝16. (2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示． 由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝＝， 当|QM|最小时，|CQ|最小， 此时CQ⊥l1，|CQ|＝＝4， 则|QM|的最小值为＝4. [技能提分练] 11．(多选)(2023·浙江模拟)在平面直角坐标系内，已知A(－1，0)，B(1，0)，C是平面内一动点，则下列条件中使得点C的轨迹为圆的有(　　) A．||＝|| B．||＝2|| C．·＝0 D．·＝2 答案：BCD 12．(多选)设有一组圆C：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N＋)，下列四个命题正确的是(　　) A．存在k，使圆与x轴相切 B．存在一条直线与所有的圆均相交 C．存在一条直线与所有的圆均不相交 D．所有的圆均不经过原点 答案：ABD 13．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(0，4)，B(2，0)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于8 B．点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB|＝2 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 答案：D 14．已知圆C：(x－2)2＋y2＝1及点A(0，2)，点P，Q分别是直线x＋y＝0和圆C上的动点，则|PA|＋|PQ|的最小值为________． 答案：3　解析：作出点A关于直线x＋y＝0的对称点A′，如图： 设点A′(x0，y0)，则有 解得即A′(－2，0)，而C(2，0)，由圆的性质知，圆外点P与圆C上点Q的距离|PQ|满足|PQ|≥|PC|－1(当且仅当Q是线段PC与圆C的交点时取“＝”)，连接A′C交直线x＋y＝0于点O，P为直线x＋y＝0上任意一点，连接PA，PA′，PC(线段PC交圆C于点Q)，则(|PA|＋|PQ|)min＝|PA|＋|PC|－1＝|PA′|＋|PC|－1≥|A′C|－1＝3，当且仅当点P在线段A′C上，即与点O重合时取等号，所以|PA|＋|PQ|的最小值为3. 15．(2023·黑龙江哈九中模拟)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则的最大值为________． 答案：18＋12　解析：以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(－1，0)，B(1，0)，设P(x，y)，由＝， 所以＝，两边平方并整理得(x－3)2＋y2＝8， 所以点P的轨迹为以(3，0)为圆心，2为半径的圆， 所以y2＝8－(x－3)2(3－2≤x≤3＋2)， 则有＝x2＋y2＋1＝x2＋8－(x－3)2＋1＝6x≤18＋12， 所以的最大值为18＋12. 16．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，圆C：x2＋y2－6x－4y＋b＝0. (1)求b的取值范围，并求出圆心坐标； (2)若圆C的半径为1，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (3)有一动圆M的半径为1，圆心在l上，若动圆M上存在点N，使|NA|＝|NO|，求圆心M的横坐标a的取值范围． 解：(1)x2＋y2－6x－4y＋b＝0化为(x－3)2＋(y－2)2＝13－b， 由13－b>0得b<13，∴b的取值范围为(－∞，13)，圆心C坐标为(3，2). (2)由(1)知圆心C的坐标为(3，2)，当半径为1时， 圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，将A(0，3)代入(x－3)2＋(y－2)2＝1， 得(0－3)2＋(3－2)2>1，∴A(0，3)在圆C外， 设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， ∴＝1. ∴|3k＋1|＝，∴2k(4k＋3)＝0， ∴解得k＝0或k＝－，∴所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－x＋3，即y＝3或3x＋4y－12＝0. (3)∵圆M的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以圆心M(a，2a－4)，又半径为1， 则圆M的方程为(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1， 又∵|NA|＝|NO|， ∴点N在OA的中垂线m上，由OA的中点得直线m：y＝， ∴点N应该既在圆M上又在直线m上，即圆M和直线m有公共点． ∴≤1，∴解得≤a≤. 综上所述，a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$