课时作业(52) 两条直线的位置关系与距离公式（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(五十二)　两条直线的位置关系与距离公式 [基础保分练] 1．已知a∈R，b∈R，则“直线ax＋2y－1＝0与直线(a＋1)x－2ay＋1＝0垂直”是“a＝0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：B 2．(2023·大通模拟)已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：3x＋ay＋7＝0，l3：bx＋2y－1＝0，若l1⊥l2且l2∥l3，则a－b的值为(　　) A．－5 B．5 C．－7 D．7 答案：B 3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2) 答案：C 4．(2024·重庆三模)已知直线l：y＝k(x－2)＋1(k∈R)上存在一点P，满足|OP|＝1，其中O为坐标原点．则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：C 5．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数f(x)＝＋，f(x)的最小值为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 答案：A 6．(多选)(2023·山东青岛模拟)已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，则(　　) A．直线l2过定点(－3，－1) B．当m＝1时，l1⊥l2 C．当m＝2时，l1∥l2 D．当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1 答案：ACD 7．(多选)已知直线l：mx＋y－m＋1＝0，A(1，2)，B(3，4)，则下列结论正确的是(　　) A．存在实数m，使得直线l与直线AB垂直 B．存在实数m，使得直线l与直线AB平行 C．存在实数m，使得点A到直线l的距离为4 D．存在实数m，使得以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为＋ 答案：ABD 8．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________． 答案：－或－　解析：由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或a＝－. 9．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，O(0，0)，若光线L从点P(2，0)射出，经直线AB反射后到直线OB上，再经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为________． 答案：3x－y－6＝0　解析：由题意知直线AB的方程为y＝－x＋4， 设光线分别射在AB，OB上的M，N处， 作出点P关于直线OB的对称点P1，作出点P关于直线AB的对称点P2(图略)， 则∠P2MA＝∠PMA＝∠BMN，∠P1NO＝∠PNO＝∠BNM， ∴P1，N，M，P2共线， 易得点P关于y轴的对称点P1(－2，0)， ∵|OA|＝|OB|＝4，∴∠P2AB＝∠PAB＝45°，∴P2A⊥OA， ∴P2的横坐标为4， 由对称性可知|P2A|＝|PA|＝2，可得P2的纵坐标为2， ∴P2(4，2)，∴直线P1P2的方程为＝， 即x－3y＋2＝0， 联立得则M， ∴直线PM：＝，即光线L所在的直线方程为3x－y－6＝0. 10．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使同时满足下列三个条件：①点P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由． 解：(1)因为l2可化为2x－y－＝0，所以l1与l2的距离为d＝＝. 因为a>0，所以a＝3. (2)设存在点P(x0，y0)满足三个条件，则点P在与l1，l2平行直线l′：2x－y＋c＝0上． 且＝·，即c＝或c＝. 所以满足条件②的点满足2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有＝·，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0，因为点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不成立． 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，解得(舍去)，联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，解得所以P即为同时满足条件的点． [技能提分练] 11．已知点A(1，3)，B(5，－2)，在x轴上有一点P，若|AP|－|BP|最大，则P点坐标为(　　) A．(3.4，0) B．(13，0) C．(5，0) D．(－13，0) 答案：B 12．(多选)(2023·湖北武汉调研)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tan α的值可能为(　　) A． B． C．1 D． 答案：AD　 13.(2023·河北邯郸模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，将三角板ABC的端点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上运动，点B在第一象限，且∠ACB＝2∠ABC＝60°，若BC＝2，则点O与点B之间距离的(　　) A．最大值为2 B．最大值为 C．最大值为 D．最大值为 答案：C 14．已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________． 答案：　解析：由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0，4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3，0)，注意到直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，点M又是两条直线的交点，则有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.故|MA|·|MB|≤(当且仅当|MA|＝|MB|＝时等号成立). 15．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2). (1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点M，并求出这一定点的坐标； (2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4. 证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． ∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0， ∴解得 故直线经过的定点为M(2，－2). (2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知PQ≤PM，当且仅当Q与M重合时，PQ＝PM， 此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0. 但直线系方程不能表示直线x－y－4＝0， ∴M与Q不可能重合，而PM＝4，∴PQ<4，故所证成立． 16．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，P(3，－1)，Q(－3，3). (1)若P，Q两点到直线l的距离相等，求此时直线l的直线方程； (2)当k为何值时，原点到直线l的距离最大； (3)当k＝1时，求直线l上的动点M到原点距离的最小值，并求此时M点的坐标． 解：(1)因为P(3，－1)，Q(－3，3)，所以PQ的中点为(0，1)，若直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)过PQ的中点为(0，1)，则－1＋1＋2k＝0，解得k＝0，此时直线l为y＝1，满足条件， 又kPQ＝＝－，所以当k＝kPQ＝－时，直线l的方程为2x＋3y＋1＝0，此时直线l与直线PQ平行，满足P，Q两点到直线l的距离相等， 综上可得，直线l的方程为y＝1或2x＋3y＋1＝0. (2)由kx－y＋1＋2k＝0，得k(x＋2)＋(－y＋1)＝0， 联立，解得，则直线l：kx－y＋1＋2k＝0过定点N(－2，1)， 由kx－y＋1＋2k＝0，得y＝kx＋1＋2k， 当直线l与ON垂直时，原点到直线l的距离最大，最大值为|ON|＝＝， 因为kON＝－，所以k＝2，即当k＝2时原点到直线l的距离最大． (3)当k＝1时，直线l：x－y＋3＝0，设M(x，x＋3)，则|OM|＝＝ ，所以当x＝－时，|OM|min＝，此时M， 即直线l上的动点M到原点距离的最小值为，此时M点的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$