课时作业(51) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(五十一)　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 [基础保分练] 1．(2023·山东日照模拟)经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0 答案：A 2．(2023·山东临沂高三月考)设直线l的方程为cosθx－y＋b＝0(θ∈R)，则l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．[0，]∪[，π) B．[0，]∪(，] C．[，] D．[，)∪(，] 答案：A 3．已知集合A＝，集合B＝{(x，y)|ax＋y－2－a＝0}，A∩B＝∅，则a满足(　　) A．a＝－1 B．a∈R且a≠1 C．a∈R且a≠－1 D．a∈R且a≠1且a≠－1 答案：C 4．已知直线y＝－x ＋ 5的倾斜角是直线l倾斜角的5倍，过点P(3，－4)的直线l的方程为(　　) A．x－y－3－4＝0 B．x＋y－3＋4＝0 C．x＋y＋3－4＝0 D．x－y－3－4＝0 D　解析：直线y＝－x＋5的斜率k＝tan α＝－，所以α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率为，又过点P(3，－4)，所以由点斜式方程得y＋4＝(x－3)，即x－y－3－4＝0.故选D. 5．(2023·山东模拟)方程(1＋4k)x－(2－3k)y＋(2－14k)＝0所确定的直线必经过点(　　) A．(2，2) B．(－2，2) C．(－6，2) D．(，) 答案：A 6．(多选)(2024·重庆八中模拟)直线l过点P(1，3)且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，A(－1，－4)，B(2，－3)，则k可以取(　　) A．－8 B．－5 C．3 D．4 答案：AD 7．(多选)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．不存在k，使得l2的倾斜角为90° B．对任意的k，直线l2恒过定点 C．对任意的k，l1与l2都不重合 D．对任意的k，l1与l2都有公共点 答案：BD 8．已知直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1，2)，则直线l的一般式方程为________________． 答案：3x＋y＋1＝0　解析：设直线l的斜率为k，因为直线l过P(－1，2)，所以直线l的方程为y－2＝k(x＋1)， 即y＝kx＋2＋k， 由⇒x＝－， 由⇒x＝， 由题意可知P(－1，2)是截得的线段的中点， 所以－＋＝2×(－1)，解得k＝－3， 即y＝－3x＋2－3，即3x＋y＋1＝0. 9．(2024·陕西西安中学模拟)已知点M(x0，y0)(x0≠0)在直线3x＋y＋2＝0上，且满足x0＞y0－1，则的取值范围为________________． 答案：(－∞，－3)∪　解析：如图，作出直线3x＋y＋2＝0及x－y＋1＝0，它们的交点为A， 直线3x＋y＋2＝0上满足x＞y－1的点在A点右下方，kOA＝＝－.又直线3x＋y＋2＝0的斜率为－3，＝kOM， 由图可得kOM的范围是(－∞，－3)∪. 10．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程． 解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan (180°－30°)＝－， 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 设A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中点C(，)， 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，). 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1).当AB斜率不存在时，A(1，1)，B，则点C不在直线y＝x上，不符合题意，故直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0. [技能提分练] 11．(2023·江苏模拟)在平面直角坐标系中，直线l：y＝k(x－2)＋3与坐标轴分别交于点A，B，则下列选项中错误的是(　　) A．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有一条 B．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有两条 C．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有三条 D．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有四条 答案：A 12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2, 0)，B(0, 4)，AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3＝0 C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0 答案：D 13．若x＋＝0，则的取值范围为(　　) A． B．－∞，－∪，＋∞ C．∪ D． 答案：D 14．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0 交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为______． 答案：6　解析：由x＋my＋1＝0可知my＝－x－1，所以该直线过定点A(－1，0)， 由mx－y－2m＋3＝0可得m(x－2)＝y－3，所以该直线过定点B(2，3)， 因为直线x＋my＋1＝0与mx－y－2m＋3＝0垂直， 所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18， 因为18＝|PA|2＋|PB|2＝(|PA|＋|PB|)2－2|PA|·|PB|≥(|PA|＋|PB|)2－22， 即(|PA|＋|PB|)2≤36，解得|PA|＋|PB|≤6， 所以|PA|＋|PB|的最大值为6. 15．已知m∈R，动直线l1：x－my－2＝0过定点A，动直线l2：mx＋y－4m＋2＝0过定点B，若直线l1与l2相交于点M(异于点A，B)，求△MAB周长的最大值． 解：因为动直线l1：x－my－2＝0过定点A(2，0)，动直线l2：mx＋y－4m＋2＝0，整理可得m(x－4)＋y＋2＝0，可得定点B(4，－2)， 因为1·m＋m·(－1)＝0， 所以两条直线垂直，交点为M，则MA⊥MB， 所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝(4－2)2＋(－2)2＝16， 因为|MA|＋|MB|≤2·＝2·＝4，当且仅当|MA|＝|MB|＝2时取等号， 所以△MAB的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|≤4＋4.即△MAB周长的最大值为4＋4. 16．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－5－2a＝0(a∈R). (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A(xA，0)，B(0，yB)，当△AOB面积为12时，求△AOB的周长． (1)证明：将(a＋1)x＋y－5－2a＝0整理成(x－2)a＋x＋y－5＝0， 令解得x＝2，y＝3，所以定点P为(2，3)， 故不论a为何值，直线l必过一定点P(2，3). (2)解：由题意知，a＋1≠0，由(a＋1)x＋y－5－2a＝0， 当y＝0时，xA＝，当x＝0时，yB＝5＋2a，由得a>－1， 所以S△AOB＝·xA·yB＝··(5＋2a)＝12，解得a＝， 此时A(4，0)，B(0，6)，|AB|＝＝2， 所以△AOB的周长为4＋6＋2＝10＋2， 故当△AOB面积为12时，△AOB的周长为10＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $$