课时作业(48) 证明平行与垂直（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(四十八)　证明平行与垂直 [基础保分练] 1．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1) C．P(－4，4，0) D．P(3，－3，4) 答案：A 2．如图，F是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E与B重合 答案：A 3．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　) A．(1，1，1) B． C． D． 答案：C 4．(2023·江西景德镇一中模拟)如图，下列正方体中，点O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线MN⊥OP的是(　　) 答案：B 5．(2024·北京昌平二模)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，则下列结论正确的是(　　) A．A1O∥EF B．A1O⊥EF C．A1O∥平面EFB1 D．A1O⊥平面EFB1 答案：B 6．(多选)如图，在四棱锥A­BCED中，已知EC＝BC＝AC＝4，BD＝1，且AC⊥EC，AC⊥BC，BC⊥EC，BC⊥BD.取BC的中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则(　　) A．OD⊥OE B．四棱锥A­ BCED的体积为40 C．BQ⊥平面ACQ D．AQ⊥BQ 答案：ACD 7．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________. 答案：　解析：以O点为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，S，M， 设P(x，y，0)，∴＝，＝， 由·＝y－＝0，得y＝， ∴点P的轨迹方程为y＝.根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2＝. 8．(2023·重庆万州第二高级中学模拟)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为________；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为________． 答案：－1　　解析：不妨取AB＝AA1＝AD＝1， 连接A1B，与AB1交于点E.连接A1M，交AN于点F，连接EF.如图②所示． ∵BM∥平面AB1N，BM⊂平面BFM，平面AB1N∩平面BFM＝EF，∴BM∥EF. ∵E点为A1B的中点，∴F点为A1M的中点． 延长AN交线段DD1的延长线于点P，如图①所示． ∵AA1∥DD1，A1F＝FM，易得△A1FA≌△MFP，∴AA1＝MP＝2D1P. ∵易得△ANA1∽△PND1， ∴＝＝2， 9.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且＝λ. (1)求证：DB1⊥平面CD1O； (2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值． (1)证明：不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B1(1，1，1)，O，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，于是＝(1，1，1)，＝，CD1＝(0，－1，1). 因为·CD1＝0，·＝0，所以DB1⊥CD1， DB1⊥OC，因为CD1，OC⊂平面CD1O，CD1∩OC＝C， 故DB1⊥平面CD1O. (2)解：由(1)可知平面CD1O的法向量可取m＝＝(1，1，1). 由＝λ，则E， 又设平面CDE的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n·＝0， n·＝0，得 取x＝－2，得z＝λ， n＝(－2，0，λ)为平面CDE的一个法向量． 因为平面CD1O⊥平面CED， 所以m·n＝0，即－2＋λ＝0，解得λ＝2. 10．如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，B1D1与A1D能否垂直？说明理由． 解：由题意，知菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1于O1， 设AC∩BD＝O， 以O1B1，O1C1，O1O所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设B1(a，0，0)，C1(0，b，0)且a2＋b2＝1，则D1(－a，0，0)，A1(0，－b，0)，D(－a，0，2). [技能提分练] 11.(2023·湖北恩施模拟)在三棱台ABC­A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝C1C＝2A1B1，O为AC的中点，P是C1C的中点．证明：平面A1BC⊥平面POB. 证明：如图，连接A1O，设A1B1＝1，则AB＝BC＝C1C＝2，AC＝2，A1C1＝. 因为C1C⊥平面ABC，O为AC的中点， 所以A1O⊥平面ABC. 因为AB＝BC，所以BO⊥AC. 以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz， 则A(0，－，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，A1(0，0，2)，B1，C1(0，，2)，P(0，，1). 所以A1C⊥OB，A1C⊥OP. 因为OB∩OP＝O，OP，OB⊂平面POB， 所以A1C⊥平面POB. 因为A1C⊂平面A1BC， 所以平面A1BC⊥平面POB. 12.(2023·广东汕头第一中学模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，E为棱PD的中点，＝λ(λ为常数，且0＜λ＜1).若直线BF∥平面ACE，求实数λ的值． 解：因为PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD. 由题意可知，AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，E(0，2，1)， 所以＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，＝(－2，0，2)，＝(2，2，－2)， 则＝λ＝(2λ，2λ，－2λ)， 所以＝＋＝(2λ－2，2λ，2－2λ). 设平面ACE的一个法向量为m＝(x，y，z). 由得不妨令x＝1，则y＝－1，z＝2，得m＝(1，－1，2). 因为BF∥平面ACE，所以·m＝2λ－2－2λ＋4－4λ＝0，解得λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$