课时作业(47) 空间向量及其运算（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(四十七)　空间向量及其运算 [基础保分练] 1．(2023·四川南充模拟)已知向量a＝(1，0，1)，b＝(2，0，－2)，若(ka＋b)·(a＋kb)＝2，则k的值等于(　　) A．1 B． C． D． 答案：D 2．(2023·江苏省南通市海安高级中学高考数学一模)设向量a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，当数m与n满足下列哪种关系时，向量ma＋nb与x轴垂直(　　) A．3m＝2n B．3m＝n C．m＝2n D．m＝n 答案：A 3．(2023·河南省安阳一中、鹤壁高中、新乡一中高考数学联考)已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　) A． B． C． D．或 答案：C 4．(2023·四川蒲江中学模拟)设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(3，－6，3)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．3 答案：D 5．(2023·四川阆中中学模拟)已知存在非零实数λ使得＝λ，且＝－＋x＋y(x，y＞0)，则＋的最小值为(　　) A．4＋2 B．8 C．6＋ D．6＋2 答案：A 6．(多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则(　　) A．与是共线向量 B．的单位向量是(1，1，0) C．与夹角的余弦值是－ D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) 答案：CD 7．(多选)(2023·辽宁本溪模拟)下列命题中正确的是(　　) A．若AB∥CD，则∥ B．|a|＋|b|＝|a＋b|是a，b共线的必要条件 C.A，B，C三点不共线，对空间任一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 答案：ACD 8．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________． 答案：　解析：由条件得解得x＝，y＝－，z＝4，x＋y＝－＝. 9.(2023·浙江嘉兴模拟)如图，在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，M是AC的中点，PB＝1，则·的最小值为________． 答案：－　解析：连接EC，如图， 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 则BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，即有BC⊥PB. 因为M是AC的中点，则＝(＋)＝＋(＋)，又AE⊥PB，所以·＝0， ·＝· ＝·＋·＋· ＝·＝－||||≥－·＝－，当且仅当||＝||＝时等号成立， 所以·的最小值为－. 10．已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2). (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝＝5. (2)令＝t (t∈R)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，则·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝. 因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为(－，－，). [技能提分练] 11．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，点E是BC的中点，那么(　　) A．·＜· B．·＝· C．·＞· D．·与·的大小不能比较 答案：C 12．已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则·的最大值为(　　) A．4 B．12 C．8 D．6 答案：C 13.(2023·江苏徐州模拟)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为6，点M为CC1的中点，点P为底面A1B1C1D1上的动点，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为(　　) A．2π B．3 C．6 D．3π 答案：B 14.三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设 ＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示向量 为________； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则MN的长为________. 答案：(1)a＋b＋c　(2)　解析：(1)由题图知＝BA1＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c. (2)由题设条件得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，所以|a＋b＋c|＝，||＝|a＋b＋c|＝. 15.(2024·河南濮阳一模)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，MN是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，求·的取值范围． 解：当弦MN的长度最大时，弦过球心O，如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设M，N是上下底面的中心， 则M(2，2，4)，N(2，2，0)，设P(x，y，z)，＝(2－x，2－y，4－z)，＝(2－x，2－y，－z)，则·＝(2－x)2＋(2－y)2－z(4－z)＝(x－2)2＋(y－2)2＋(z－2)2－4，而(x－2)2＋(y－2)2＋(z－2)2表示点P(x，y，z)和定点(2，2，2)距离的平方，很显然正方体的顶点到定点(2，2，2)距离的平方最大，最大值是＝12，正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是4，所以·的最小值是4－4＝0，最大值是12－4＝8.所以·的取值范围为[0，8]. 16．在①(＋)⊥(－)，②||＝，③0＜cos 〈，〉＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题． 问题：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D­xyz.已知点D1的坐标为(0，0，2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，________，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求·的值；若不存在，请说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：由题意，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，设E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(b，2，2)(0≤b≤2)，则＝(b，2－a，0)，＝(－2，2，－2)，＝(－2，a，2)，＝(b－2，0，2)， 所以·＝4－2(a＋b)，·＝8－2b. 选择①：因为(＋)⊥(－)，所以(＋)·(－)＝0，2＝2，得a＝b， 若·＝0得4－2(a＋b)＝0，则a＝b＝1， 故存在点E(0，1，2)，F(1，2，2)，满足EF⊥A1C，·＝8－2b＝6. 选择②：因为||＝，所以＝，得a＝.若·＝0，即4－2(a＋b)＝0，得b＝. 故存在点E，F，满足EF⊥A1C，·＝8－2b＝5. 选择③：因为0＜cos 〈，〉＜1，所以与不共线，所以b≠2－a，即a＋b≠2，则·＝4－2(a＋b)≠0，故不存在点E，F满足EF⊥A1C. 学科网（北京）股份有限公司 $$