课时作业(45) 直线、平面平行的判定与性质（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(四十五)　直线、平面平行的判定与性质 [基础保分练] 1．(2023·福建省福宁古五校联合体月考)α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是(　　) A．若m∥n，n∥α，则m∥α B．若m∥α，α∥β，则m∥β C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D.若α∥β，m⊂α，则m∥β 答案：D 2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，若所得交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为(　　) A．平行或相交于同一点 B．相交于同一点 C.相交但交于不同的点 D．平行 答案：A 3．在空间四边形ABCD中，E，F分别在AD，CD上，且满足＝，则直线EF与平面ABC的位置关系是(　　) A．EF∥平面ABC B．EF⊂平面ABC C．EF与平面ABC相交 D．以上都有可能 答案：A 4．如图，正方体A1B1C1D1­ABCD中，E，F分别为棱A1A，BC上的点，在平面ADD1A1内且与平面DEF平行的直线(　　) A．有一条 B．有两条 C．有无数条 D．不存在 答案：C 5．(2024·山西二模)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E，F，G分别是棱AD，C1C，B1C1的中点，则下列结论中正确的是(　　) A．BE⊥平面DFG B．A1E∥平面DFG C．CE∥平面DFG D．平面A1EB∥平面DFG C　解析：连接A1D，A1G，如图，由ABCD­A1B1C1D1为正方体，且F，G分别是棱C1C，B1C1的中点，得FG∥A1D，则平面DFG即为平面A1DFG， 如图，连接D1G，BE，由正方体可知D1G∥BE，又D1G⊥A1G不成立，所以BE⊥A1G不成立，即A选项错误； 连接A1E，如图，由A1E∩平面A1DFG＝A1，故A1E与平面A1DFG不平行，B选项错误； 连接CE，则CE∥A1G，又A1G⊂平面A1DFG，CE⊄平面A1DFG，所以CE∥平面A1DFG，C选项正确； 平面A1EB与平面A1DFG有公共点A1，故D选项错误． 6．(多选)(2023·河北石家庄模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　) A．α∥β，l∥α B．l∥α，l∥β C．α与β相交，且交线平行于l D．α与β相交，且交线垂直于l 答案：BC 7．(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，B1C1，C1D1的中点，则(　　) A．FG∥平面AED1 B．BC1∥平面AED1 C．点C1在平面AED1内 D．点F在平面AED1内 答案：BD 8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是______；直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________． 答案：相交　平行　解析：在平面AA1D1D中，四边形AA1MD是梯形，且AA1，MD是两腰，则直线MD与直线AA1相交，所以直线MD与平面A1ACC1相交；在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1D1D∥平面BB1C1C.∵MD⊂平面AA1D1D，∴MD∥平面BCC1B1. 9．如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH边上及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1. (注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 答案：点M在线段FH上(答案不唯一)　解析：取B1C1中点Q，连接QN，QF，FH，如图，由已知得QN，FH与CC1，BB1都平行且相等，因此FH与QN平行且相等，从而四边形FQNH是平行四边形，FQ∥HN， H，N分别是CD，CB中点，则HN∥BD，HN⊄平面B1BDD1，BD⊂平面B1BDD1， 所以HN∥平面B1BDD1，同理，NQ∥平面B1BDD1， 而HN∩NQ＝N，HN，NQ⊂平面FQNH， 所以平面FQNH∥平面BB1D1D， 因此只要M∈FH，就有MN∥平面B1BDD1. 10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证： (1)EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明：(1)如图，连接SB，在△SBC中，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB. 又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD，如图所示． 在△CSD中，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD. 又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1， 由(1)知EG∥平面BDD1B1，EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， 所以平面EFG∥平面BDD1B1. [技能提分练] 11．(2024·北京二模)已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面ABD1，则动点P的轨迹所形成区域的面积是(　　) A．　　　B．　　　C．1　　　D．2 答案：A 12．(2023·四川成都模拟)在底面为等边三角形的三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，AB＝2，AA1＝4，D是棱CC1的中点，M是四边形ABB1A1内的动点．若C1M∥平面ABD，则线段C1M长度的最小值为(　　) A．2 B．2 C． D． 答案：D 13．(多选)(2023·山东实验中学模拟)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是线段BD1上的动点，则下列结论中正确的是(　　) A．存在点M，使得C1M∥平面AB1C B．存在点M，使得三棱锥D1­C1DM的体积是 C．存在点M，使得平面C1DM交正方体的截面为等腰梯形 D．若D1M＝3MB，过点M作正方体的外接球的截面，则截面面积的最小值为 答案：AC 14．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BC＝CC1＝6，AB＝2，平面α过棱AB，BC，CC1的中点，点M∈底面ABCD.若直线MD1∩平面α＝∅，则B1M的最小值为________． 答案： 　解析：记棱AB，BC，CC1的中点分别为E，F，G，连接EF，FG，EG，BC1，AD1，AC，CD1，如图所示． 则平面α即为平面EFG. 因为FG∥BC1，BC1∥AD1，所以AD1∥FG，且AD1⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，所以AD1∥平面EFG， 同理可得AC∥ 平面EFG.而AD1∩AC＝A，AD1，AC⊂平面D1AC， 所以平面D1AC∥平面EFG，故点M在线段AC上． 而B1M＝＝， 故只需BM最小即可， BM的最小值即为点B到线段AC的距离＝， 故B1M的最小值为＝. 15.(2023·北京北师大实验中学模拟)如图所示，记几何体W是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1割去两个三棱锥A1­AB1D1，C1­CB1D1后剩余的几何体．给出下列四个结论： ①几何体W的体积为； ②几何体W的表面积为2＋； ③几何体W的顶点均在某个球面上，则该球的半径为； ④若几何体W被与平面ABCD平行的平面α所截的截面多边形的每条边长都相等，则平面α与平面ABCD的距离为－1. 其中所有正确的结论是__________．(填序号) 如图，设截面α为平面EFGHIJ，依题意平面EFGHIJ∥平面ABCD，所以EF∥AB，GF∥B1D1， 所以＝＝且＝，＋＝1，即＋＝1， 又EF＝FG，即＋＝1，解得EF＝＝2－， 所以B1E＝2－，则BE＝1－(2－)＝－1，故平面α与平面ABCD的距离为－1，即④正确． 16.(2023·河南驻马店模拟)如图，三棱锥P­ABC中，△PAB，△ABC均为等边三角形，PA＝4，O为AB中点，点D在AC上，满足AD＝1，且平面PAB⊥平面ABC. (1)证明：DC⊥平面POD； (2)若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得EF∥平面POD？若存在，求出FC的长及EF到平面POD的距离；若不存在，说明理由． (1)证明：由条件△PAB，△ABC为等边三角形，O为AB的中点， 则AB＝PA＝4，AO＝2AD＝2，∠DAO＝60°， 由余弦定理得 DO＝ ＝， 从而在△AOD中，AO2＝AD2＋OD2， 得△AOD为直角三角形，且OD⊥AD， 又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且PO⊥AB，PO⊂平面PAB， 则由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABC. 由AD⊂平面ABC⇒PO⊥AD， 又因为OD，PO⊂平面POD，OD∩PO＝O⇒AD⊥平面POD，即DC⊥平面POD. (2)解：存在AC上的点F，使得EF∥平面POD， 点E为PB中点，取OB的中点M，可得EM∥PO，再在平面ABC内作MF∥OD交AC于点F，该点F即为满足题意的点(如图). 下面证明平面POD∥平面EFM. 由于EM∥PO，EM⊄平面POD，PO⊂平面POD，则ME∥平面POD， MF∥OD，FM⊄平面POD，DO⊂平面POD，则MF∥平面POD， MF⊂平面FME，ME⊂平面FME，MF∩ME＝M， 则由面面平行的判定定理可得平面POD∥平面EFM，EF⊂平面FME，因此EF∥平面POD. 又由于＝＝2，从而可得DF＝，AF＝，FC＝AC－AF＝. 由(1)可知，AD⊥平面POD，则AD⊥平面EFM，DF＝，即为平面POD与平面EFM间的距离，也即EF到平面POD的距离． 综上，存在AC上的点F，使得EF∥平面POD，FC＝， EF到平面POD的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$