课时作业(44) 空间点、直线、平面的位置关系（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(四十四)　空间点、直线、平面的位置关系 [基础保分练] 1．(2024·上海大同中学三模)下列命题正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．三条相交直线确定一个平面 C．对于直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c D．对于直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c 答案：C 2．如果直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线(　　) A．只有一条，不在平面α 内 B．有无数条，不一定在平面α 内 C．只有一条，且在平面α 内 D．有无数条，一定在平面α 内 答案：C 3.(2023·北京模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1 中，与直线DC1 互为异面直线的是(　　) A．CD B．AB1 C．CD1 D．A1D1 答案：D 4.(2023·湖北模拟)如图，在三棱锥A­BCD 中，AB＝AC＝1，AB⊥AC，AD＝2，AD⊥ 平面ABC，E 为CD 的中点，则直线BE 与AD 所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 5.(2023·北京通州模拟)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1 中，则下列结论正确的是(　　) A．点B1∈ 平面CC1D1D B．直线B1D1⊂ 平面CC1D1D C．直线BC1 与直线AA1 是相交直线 D．直线B1D1 与直线AB 是异面直线 答案：D 6．(多选)(2023·浙江温州模拟)用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是(　　) A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 答案：ACD 7.(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点(不与各边的端点重合)，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n，AC⊥BD，AC＝4，BD＝6，则下列结论正确的是(　　) A．E，F，G，H一定共面 B．若直线EF与GH有交点，则交点一定在直线AC上 C．AC∥平面EFGH D．当m＝n时，四边形EFGH的面积有最大值6 答案：ABD 8．平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，则直线l与直线CD1所成的角为________． 答案：60°　解析：连接BD，BA1，A1D.如图所示，易知l∥BD，又CD1∥BA1，所以直线l与直线CD1所成的角即为直线BD与直线BA1所成的角． 在等边三角形A1BD中，∠A1BD＝60°，即异面直线l与直线CD1所成的角为60°. 9．(2023·黑龙江哈尔滨三中模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α，下列有关平面α截此正方体所得截面的结论中，说法正确的为________．(填序号) ①截面形状一定是等边三角形； ②截面形状可能为五边形； ③截面面积的最大值为3，最小值为2； ④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分． 答案：④　解析：如图可知，截面形状可以是等边三角形、六边形、正六边形， ∴①②明显错误； 截面面积的最小值可以趋向于零，故③错误； 当截面为正六边形时，截面过正方体的中心，此时正方体的体积被分成相等的两部分，故④正确． 10.如图，在四棱锥P­ABCD 中，PC⊥ 底面ABCD，ABCD 是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E 是PB 的中点． (1)线段PA 上是否存在一点G，使得点D，C，E，G 共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)若PC＝2，求三棱锥P­ACE 的体积． (1)证明：存在PA的中点G满足条件． 连接GE，GD，则GE是三角形PAB的中位线，所以GE∥AB， 又由已知AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四点共面． (2)解：因为点E是PB 的中点， 所以V三棱锥P­ACE＝V三棱锥C­PAE＝V三棱锥C­PAB＝V三棱锥P­ABC. 因为AD⊥DC，AB∥DC，所以S△ABC＝AB·AD＝1，V三棱锥P­ABC＝PC·S△ABC＝， ∴V三棱锥P­ACE＝. [技能提分练] 11．(2024·河南安阳模拟)在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝CD＝AD，P为空间中的动点，PA＝PB＝AB＝2，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为(　　) A． B． C．π D．π 答案：D 12．(多选)(2024·吉林毓文中学模拟)已知矩形ABCD，AB＝，BC＝1，将△ADC 沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥D­ABC，则在翻折的过程中有下列结论，其中正确的是(　　) A．三棱锥D­ABC 的体积最大值为 B．三棱锥D­ABC 的外接球体积不变 C．异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90° D．AD 与平面ABC 所成角的最大值为30° 答案：AB 13．(2024·四川达州模拟)正方体ABCD­A1B1C1D1 的棱长为1，点P在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是(　　) A．若点P在线段D1C 上运动，则AP与A1B 所成角的范围为 B．若点P在矩形BDD1B1 内部及边界上运动，则AP与平面BDD1B1 所成角的取值范围是 C．若点P在△D1B1C 内部及边界上运动，则AP的最小值为 D．若点P满足AP＝1，则点P轨迹的面积为 答案：B 14．(2024·广东深圳模拟)如图所示，ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________． 答案：　解析：∵MN∥平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD＝PQ，MN⊂平面PMNQ， ∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝a， 故PQ＝＝PD＝a. 15．(2023·浙江义乌中学模拟)香囊又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品．香囊形状多样，如图①所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图②所示．则图②中两线段AD 与BC，在图①的六面体中实际所成的角为________，若该六面体的正视图由一菱形与其两条对角线组成(如图③所示)，则这个菱形的面积为________． 答案：90°　 　解析：根据题意，六面体为两个正四面体的叠加， 如图可知AD 与BC是对棱，由对称性知AD 与BC 垂直， 故六面体中实际所成的角为90°， 由六面体的正视图为菱形，可得正视图对应长度如图2， 则点A 的正投影为BC的中点， 作EO⊥平面ABC 于O，O 为△ABC的中心，E 的俯视图在O 点， 由棱长为2 得BO＝2××＝， 所以EO＝＝， 所以菱形的面积为×2×＝. 16.如图，在侧棱长为3的正三棱锥A­BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于2，求动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度． 解：设动点P在三棱锥表面形成的曲线是EFGH，如图所示， 则BE＝BH＝2.在Rt△BAH中，cos ∠HBA＝＝， ∴∠HBA＝，∠HBG＝－＝， ∴＝2×＝π，同理＝π. 在Rt△HAE中，∠HAE＝，AH＝AE＝＝，∴＝×＝. 在等边三角形BCD中，∠CBD＝， ∴＝2×＝. 则所求曲线的长度为π＋π＋π＋π＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $$