课时作业(43) 空间几何体内切球与外接球问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(四十三)　空间几何体内切球与外接球问题 [技能提分练] 1．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为(　　) A． B． C． D． 答案：D 2．如图①，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后的三视图均为图②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面积为，则该小球的体积为(　　) A．　 　 B． C．　 　 D． 答案：B 3．已知三棱锥P­BCD 中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，BC＝1，PB＝CD＝2，则该三棱锥的外接球的体积为(　　) A.π B．π C．π D．π 答案：B 4．设直三棱柱ABC­A1B1C1 的所有顶点都在一个球面上，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，且底面△ABC 的面积为2，则此直三棱柱外接球的表面积是(　　) A．16π B． C．40π D．64π 答案：C 5．(2022·河南汝州模拟)已知点A，B，C，D 在同一个球的球面上，AB＝1，BC＝，AC＝2，若四面体ABCD 的体积的最大值为，则这个球的表面积是(　　) A． B． C． D． 答案：D 6．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________． 答案：[2，2]　解析：设球的半径为R. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R′为体对角线长AC1＝＝4，即2R′＝4，R′＝2，故Rmax＝2. 如图，分别取侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的中点M，H，G，N，显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点， 连接MG，则MG＝4，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径达到最小，即R的最小值为2.综上，R∈[2，2]. 7．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点． 答案：12　解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为，而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点． 8．已知球O 是正三棱锥A­BCD 的外接球，BC＝3，AB＝2，点E在线段BD 上，且BD＝6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是____________． 答案： 　解析：如图，设△BDC 的中心为O1，球O 的半径为R，连接AO1，O1D，OD，O1E，OE， 则O1D＝3sin 60°×＝， AO1＝＝＝3， 在Rt △OO1D 中，R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2. ∵BD＝6BE，∴DE＝2.5， 在△DEO1 中，O1E＝ ＝， ∴OE＝＝＝. 过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为＝，最小面积为π， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π. ∴ 所得截面圆面积的取值范围是. [素养拉分练] 9．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面圆和圆柱的一个底面圆重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为O1，O2，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为O，则不正确的是(　　) A．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为 B．O1O2＋2PO1＝2 C．如果PO1＝O1O2，则O与O1重合 D．如果PO1∶O1O2＝1∶3，则圆柱的体积为 答案：C 10．已知四面体S­ABC 中的所有棱长为2，球O1 是其内切球．若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径之比为(　　) A． 　B． 　C． 　D． 答案：D 11．已知四边形ABDC是菱形，∠BAC＝60°，AB＝，沿对角线BC翻折后，二面角A­BC­D的平面角的余弦值为－，则三棱锥D­ABC的外接球的体积为________. 答案：π 　解析：如图，取BC 的中点为M，连接AM，DM，则AM⊥BC，DM⊥BC， 则二面角A­BD­C的平面角为∠AMD，AB＝， 由四边形ABDC是菱形，∠BAC＝60° 可知△ABC，△DBC 为正三角形， 设球心O 在平面ABC 内的射影为O1，在平面BCD 内的射影为O2， 则O1，O2 为△ABC，△DBC 的中心， 所以DM＝，DO2＝1，O2M＝， 由于二面角A­BC­D的平面角的余弦值为－， 故设∠AMD＝2θ，θ∈， 则cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，解得cos2θ＝， 故sin2θ＝，则tanθ＝， 所以OO2＝O2M tan θ＝， 球O 的半径R＝＝， 所以外接球的体积为V＝π＝π. 12．已知正三棱锥S­ABC，SA＝SB＝SC＝2，AB＝3，球O与三棱锥S­ABC的所有棱相切，则球O的表面积为 ________． 答案：(19－8)π　解析：如图，取等边三角形ABC 的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC， 连接AE 并延长，交BC 于点D，则D 为BC 中点，且AD⊥BC， 在SE 上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD 即为棱切球的半径， 过点O 作OF⊥SA 于点F，连接OF， 则OF 也是棱切球的半径．设OD＝OF＝R. 因为SA＝SB＝SC＝2，AB＝3，所以求得AD＝，AE＝，DE＝， 由勾股定理得SE＝＝3，且∠ASE＝30°，设OE＝h，OD＝＝，SO＝3－h，OF＝(3－h)， 由题意得＝(3－h)， 解得h＝－1 或h＝－1－(舍去)， 当h＝－1时，R2＝h2＋＝－2，此时球O 的表面积为(19－8)π. 学科网（北京）股份有限公司 $$