课时作业(42) 空间几何体及其表面积、体积（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(四十二)　空间几何体及其表面积、体积 [基础保分练] 1．(2023·成都模拟)若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的高为(　　) A．4 B．2 C．2 D． 答案：B 2．(2023·广东梅州模拟)如图，△A′O′B′ 是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O′ 为坐标原点，顶点A′，B′均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O′B′ 的长度为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 3．(2023·江苏南京二模)在直角三角形ABC中，斜边AB长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体，若该几何体外接球表面积为，则AC长为(　　) A． B．1 C． D． 答案：D 4．在梯形ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A． B． C． D．2π 答案：C 5．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的(中间衔接的细管长度忽略不计).当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为(　　) A．4π B．8π C．32π D．16π 答案：D 6．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(　　) A．直径为0.99 m的球体 B．所有棱长均为1.4 m的四面体 C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体 D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体 答案：ABD 7．(2023·山东临沂二模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，若在此三角形内挖去一个以C为圆心、圆弧与AB相切的扇面，则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得几何体的表面积为(　　) A.2π B． C． D．3π C　解析：根据题意，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则AB＝＝2， 由于圆弧与AB相切，设切点为D，如图①， 易得圆弧为圆，其半径r＝CD＝AC sin 60°＝， 阴影部分绕直线BC旋转一周所得几何体是一个圆锥在其中挖去一个半球所得的几何体，其轴截面如图②所示， 则其表面积S＝π×AC×AB＋(π×AC2－πr2)＋×4πr2＝. 8.(2024·辽宁二模)市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该组合体进行测量，圆台下底面半径为4 cm，上底面半径为2 cm，高为6 cm，上方的圆锥高为8 cm，则此冰激凌的体积为________cm3. 答案： 　解析：圆台的体积T1＝π×6×(42＋2×4＋22)＝56π cm3，圆锥的体积T2＝×22×π×8＝π cm3， 总体积为T＝T1＋T2＝ cm3. 9.(2023·重庆巫山大昌中学校模拟)如图，AB是圆柱OO′ 的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点．已知AB＝BC＝5，CD＝3. (1)求该圆柱的表面积； (2)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积． 解：(1)由题意知AB是圆柱OO′ 的一条母线，BC过底面圆心O，且AB＝BC＝5， 可得圆柱的底面圆的半径为R＝， 则圆柱的底面积为S1＝πR2＝π×＝π， 圆柱的侧面积为S2＝2πRl＝2π××5＝25π， 所以该圆柱的表面积为S＝2S1＋S2＝2×π＋25π＝π. (2)由线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥， 由线段AD绕AB旋转一周所得的几何体为以BD为底面半径，以AB为高的圆锥． 因为BD＝4，所以△ACD 绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为V＝π·BC2·AB－π·BD2·AB＝π·52·5－π·42·5＝15π. [技能提分练] 10．(多选)(2023·海南模拟)已知正四棱台ABCD­A1B1C1D1 的体积为，且AB＝2A1B1＝2，则(　　) A．正四棱台的侧棱长为 B．侧棱与底面所成的角为60° C.正四棱台的侧面积为6 D．正四棱台的外接球体积为π 答案：ABD 11．(2024·河北衡水中学一模)已知A，B，C是表面积为16π 的球O的球面上的三个点，且AC＝AB＝1，∠ABC＝30°，则三棱锥O­ABC 的体积为(　　) A． B． C． D． 答案：C 12．在空间中，定义“点到几何图形的距离”为这个点到几何图形上各点距离中的最小值．现有边长为2的正方形ABCD，则到定点A 距离为1的点围成的几何体的体积为________；该正方形ABCD区域(包括边界以及内部的点)记为Ω，则到Ω 距离等于1的点所围成的几何体的体积为________． 答案：π　 8＋π　解析：到定点A 距离等于1的点所围成的几何体是半径为1的球，其体积V＝π×13＝π；由题意可知，几何体为组合体，是一个棱长为2的正方体和四个高为2，底面圆半径为1的半圆柱及四个半径为1的四分之一球，其体积为V＝2×2×2＋4××π×12×2＋4××π×13＝8＋π. 13．中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积(如图①所示).现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两所成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图②所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为，则该几何体的体积为__________. 答案： 　解析：根据题意，题图②立体图形的一半，其体积等于与其同底等高的正三棱柱中，去掉一个与其同底等高的正三棱锥之后的体积． 因为该几何体中间截面三角形边长为， 所以该底面积S＝··sin 60°＝. 因为圆柱的底面圆直径为4，所以该几何体一半的高为2， 所以对应正三棱柱及三棱锥的高均为2， 所以对应正三棱柱的体积V＝×2＝， 正三棱锥的体积V1＝××2＝， 所以该几何体的体积为2(V－V1)＝. 14.(2024·安徽宣城二模)已知正四面体ABCD的棱长为2，P为AC的中点，E为AB中点，M是DP的动点，N是平面ECD内的动点，则|AM|＋|MN| 的最小值是__________. 答案： 　解析：如图①，取CE 中点O，连接DO，OP，由正四面体可知DE⊥AB，CE ⊥AB.又DE∩CE＝E，DE，CE⊂平面CDE， ∴AB⊥平面CDE， 又OP∥AB，∴OP⊥平面CDE. 当|AM|＋|MN| 最小时，MN⊥平面CDE， 故点N在线段DO 上． 由OP⊥平面CDE 可得OP⊥OD，又OP＝AE＝AB＝，DP＝＝，OD＝＝， 将△PDO 沿PD 翻折到平面APD 上，如图②所示， 易知∠ADP＝30°，sin ∠ODP＝＝，cos ∠ODP＝＝， 则sin ∠ODA＝sin (∠ODP＋30°)＝ sin ∠ODP cos 30°＋cos ∠ODP sin 30°＝， 故|AM|＋|MN| 的最小值即A 到OD 的距离，即AD·sin ∠ADO＝2×＝. 15．(2023·广东佛山模拟)如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面AA1B1B 水平放置时，水面恰好过AC，BC，B1C1，A1C1 的中点E，F，G，H. (1)求直线FG与直线A1H 的位置关系； (2)有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由； (3)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面△ABC 全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高． 解：(1)因为水面恰好过AC，BC，B1C1，A1C1 的中点E，F，G，H， 所以HG∥A1B1，EF∥AB，HG＝A1B1，EF＝AB. 又A1B1綊AB，因此HG∥EF，且HG＝EF，所以四边形EFGH 是平行四边形， 故FG∥EH，而A1H∩EH＝H，所以直线FG与直线A1H 不可能平行， 而平面EFGH∩ 平面A1B1C1＝HG，所以直线FG与直线A1H 不可能是相交直线， 所以直线FG与直线A1H 是异面直线． (2)因为棱台各侧棱交于一点，易知AE∥A1H 无交点， 所以有水的部分不呈棱台形． (3)设此三棱锥的高为h，底面面积为S， 容器中水的形状为棱柱，体积为×8＝6S， 所以有S·h＝6S，解得h＝18，即此三棱锥的高为18. 学科网（北京）股份有限公司 $$