课时作业(19) 导数中的构造问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(十九)　导数中的构造问题 [技能提分练] 1．(2023·陕西模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)－f′(x)＋ex<0(e为自然对数的底数)，其中f′(x)为f(x)的导函数，若f(3)＝3e3，则f(x)>xex的解集为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，3) D．(3，＋∞) D　解析：设g(x)＝－x，则g(3)＝－3＝0，所以f(x)>xex等价于g(x)>0＝g(3)， 由f(x)－f′(x)＋ex<0，可得f′(x)－f(x)>ex>0， 则g′(x)＝－1>0， 所以g(x)在R上单调递增，所以由g(x)>g(3)，得x>3. 2．(2023·湖南邵阳期末)已知函数f(x)是R上的奇函数，对任意的x∈R均有f(x)<成立．若f(－1)＝1，则不等式f(x)<－3x－1的解集为(　　) A．{x|x>1} B．{x|x<0或0<x<1} C．{x|x>－1} D．{x|x<－1} B　解析：由f(x)<，得f′(x)－f(x)ln 3>0，设g(x)＝，则g′(x)＝ >0. 则g(x)在R上单调递增．∵f(－1)＝1，f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝1，∴f(1)＝－1，g(1)＝＝－.f(x)<－3x－1⇒<－⇒g(x)<g(1)⇒x<1.又f(0)＝0时，不等式f(x)<－3x－1不成立，∴不等式的解集为{x|x<0或0<x<1}． 3．设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f′(x)，g′(x)分别是f(x)，g(x)的导数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0且g(6)＝0，则不等式f(x)·g(x)<0的解集是(　　) A．(－6，0)∪(6，＋∞) B．(－6，0)∪(0，6) C．(－∞，－6)∪(0，6) D．(－∞，－6)∪(6，＋∞) 答案：C 4．(2023·江苏模拟)已知函数f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f′(x)，且xf′(x)>2f(x)，则下列不等式成立的是(　　) A．2 0212f(2 022)>2 0222f(2 021) B．2 0212f(2 022)<2 0222f(2 021) C．2 021f(2 022)>2 022f(2 021) D．2 021f(2 022)<2 022f(2 021) 答案：A 5．(2023·四川雅安模拟)定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，且当x>0时，xf′(x)＋2f(x)<0，则(　　) A．> B．9f(3)>f(1) C．4f(－2)<9f(－3) D．> 答案：D 6．(2023·安徽合肥模拟)若不等式ex－a ln (ax－1)＋1≥0对∀x∈恒成立(e为自然对数的底数)，则实数a的最大值为(　　) A．e＋1 B．e C．e2＋1 D．e2 答案：A 7．(2023·陕西渭南模拟)设函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)是函数f(x)的导函数，f(x)＋(x ln x)f′(x)>0，则下列不等关系正确的是(　　) A．f(3)log23>f(2) B．f ln <0 C．f(3)>2f(9) D．f <0 答案：A 8．(2023·河南洛阳高三模拟)已知a＝，，c＝ln 5－ln 4，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 答案：C [素养拉分练] 9．(2023·广西模拟)函数f(x)的导函数为f′(x)，对∀x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，若f(ln 4)＝2，则不等式f(x)>e的解集是(　　) A．(0，1) B．(ln 4，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，ln 4) 答案：B 10．(2024·河南新乡一模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数f(x)的导函数为f′(x)，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)sin x<f′(x)cos x－ef′(x)，e为自然对数的底数，则函数f(x)在R上的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 11．(2023·吉林白城期中)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>2x，f(2)＝4，则不等式xf(x－1)＋2x2>x3＋x的解集是________． 答案：(－1，0)∪(3，＋∞)　解析：因为当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>2x， 所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)－2x>0， 设F(x)＝f(x)－x2，则函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F(2)＝0， 又f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(－x)＝f(x)， 所以F(－x)＝f(－x)－(－x)2＝f(x)－x2＝F(x)， 所以F(x)是定义在R上的偶函数， 所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，且F(－2)＝0， 不等式xf(x－1)＋2x2>x3＋x整理可得xf(x－1)＋2x2－x3－x>0，即x[f(x－1)－(x－1)2]>0， 当x>0时，f(x－1)－(x－1)2>0，则x－1>2，解得x>3， 当x<0时，f(x－1)－(x－1)2<0，则－2<x－1<0，解得－1<x<1， 又x<0，所以－1<x<0. 综上所述，不等式xf(x－1)＋2x2>x3＋x的解集为(－1，0)∪(3，＋∞). 12．(2023·辽宁大连模拟)已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋1. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)设函数g(x)＝aex－x＋ln a，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x>－1}， f′(x)＝－1＝，令f′(x)>0，得－1<x<0；令f′(x)<0，得x>0. 函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)；单调递减区间为(0，＋∞). (2)要使函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点， 即f(x)＝g(x)有两个实数根， 即ln (x＋1)－x＋1＝aex－x＋ln a有两个实数根． 即ex＋ln a＋x＋ln a＝ln (x＋1)＋x＋1. 整理为ex+ln a＋x＋ln a＝eln (x+1)＋ln (x＋1)， 设函数h(x)＝ex＋x，则上式为h(x＋ln a)＝h(ln (x＋1))， 因为h′(x)＝ex＋1>0恒成立，所以h(x)＝ex＋x单调递增，所以x＋ln a＝ln (x＋1). 所以只需使ln a＝ln (x＋1)－x有两个根，设M(x)＝ln (x＋1)－x. 由(1)可知，函数M(x)的单调递增区间为(－1，0)；单调递减区间为(0，＋∞)， 故函数M(x)在x＝0处取得极大值，M(x)max＝M(0)＝0. 当x→－1时，M(x)→－∞；当x→＋∞时，M(x)→－∞， 要使ln a＝ln (x＋1)－x有两个根，只需ln a<0，解得0<a<1. 所以a的取值范围是(0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$