精品解析：辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高三下学期第五次模拟考试数学试卷

大连市第二十四中学2024届高三第五次模拟考试 数 学 命题人：尉尧集 王辉 校对人：孙允禄 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 12种 4. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.5 C. 1.67 D. 2 5. 已知的重心为O，若向量，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知矩形中，，E，F分别为的中点，将四边形沿折起，使二面角的大小为，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项的积为，，则使得成立的n的最大值为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10第分是 C. 若随机变量，则 D. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 10. 已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. 函数的初相为 B. 当时，函数的图像关于直线对称 C. 当时，可以为1 D. 当时，函数的单调递增区间为， 11. 已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（ ） A. 双曲线的方程为 B. 的面积为 C. 以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D. 以为直径圆与以实轴为直径的圆相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边______. 13. 小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率______． 14. 已知x，y，z均为正实数，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等比数列的前项和为，已知. （1）求数列通项公式. （2）求数列的前项和. 16. 某企业近年来的广告费用（百万元）与所获得的利润（千万元）的数据如下表所示，已知与之间具有线性相关关系． 年份 2018 2019 2020 2021 2022 广告费用百万元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 润千万元 1.6 2 2.4 2.5 3 （1）求关于的线性回归方程； （2）若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回归方程，预测2025年该企业可获得的利润． 参考公式：． 17. 如图（1），在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）． （1）求证：． （2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，说明理由． 18. 已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限. （1）求抛物线的方程. （2）证明： （3）设面积分别为，其中为坐标原点，若，求. 19. 定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”. （1）设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由） （2）证明：当时，函数不存在“自公切线”； （3）证明：当，时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有