专题5.1 角平分线中的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题5.1 角平分线中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、角平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 二、角平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB · 典例分析 【典例1】已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小艳的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴__________________ ∴__________________ 又∵， ∴__________________ 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． 【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是__________________． 【思路点拨】 探究发现：根据题干中的解题思路求解即可； 类比探究：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可； 拓展应用：在BC上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可． 【解题过程】 探究发现： 解：过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：，，； 类比探究： 证明：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．    ∵平分， ∴． ∴，， ∴； 拓展应用： 在上取点G，使得，连接，    ∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是的角平分线 由（1）知，， 设，，则，， 由（1）知， 即． · 学霸必刷 1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（　　）    A．3 B．2 C．1 D．0 2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的为（    ）    A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（    ）    A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 4．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别平分，，且交于点F．则下列说法中①；②；③若，则；④；⑤．哪些是正确的（    ）    A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别平分和，于点，，若的面积为，则的周长为 ． 7．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 8．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 9．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有 （填序号）    10．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，角平分线、交于点O，于点．下列结论；①；②；③；④，其中正确结论是 ．    11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在和中，，，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，