3.2.1函数单调性课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1 函数的单调性 引入 问题:回看以往问题:求以下函数值域 2 一、单调性定义 问题:画出图象，从图象角度说清楚其走势 轴左侧，图象从左到右下降， 随增大而增大 轴右侧，图象从左到右上升 随增大而减小 描述 思考:能画出图象就能说清楚函数增减性,遇到这样难以画出图象的函数怎么办呢? 能否用抽象的代数语言表示呢? 3 一般地，设函数: 一、单调性定义 无数点 两个点 几何描述代数表示 无数点从左到右上升 如果,当时,都有，那么就称函数在区间上单调递增.就叫做函数的单调递增区间，简称增区间. 无数点从左到右下降 如果,当时,都有，那么就称函数在区间上单调递减.就叫做函数的单调递减区间，简称减区间. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数.如：就是在R上的增函数. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数.如：就是在R上的减函数. 一、单调性定义 函数特殊情况 思考:一个函数要么是增函数,要么是减函数吗?一个函数一定具有单调性吗? 例1：反比例函数是减函数吗？ 注意：增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质。一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义上不一定具有单调性。 一、单调性定义 注：若函数的单调区间有多个，则函数的单调区间不能用“”连接，只能用“，”或“和”连接. 练习: (1)说出的单调性。(2)说出函数的增区间. 一、单调性定义 注意:端点值于单调区间不重要，只要明确端点是否在义域内. 例2：根据定义证明在上单调递增，在上单调递减 二、定义法证明单调性 定义法证明单调性的步骤 取值 做差 定号 下结论 8 练习 (1)根据定义证明在上单调递减 (2)根据定义证明在上单调递增 (3)根据定义证明在上单调递增 二、定义法证明单调性 因式分解 因式分解 分子有理化 9 问题： 是以前学过的函数吗？ 可以由以前学过的函数经过多次对应操作得到吗? 大米 粉碎机 面粉 米团 磨具机 粉丝 三、复合函数 10 的定义域为，值域为 的定义域为，值域为 ，其中称为自变量，为中间变量，为因变量(即函数)。 三、复合函数 11 例3具有怎样的单调性？ 三、复合函数 12 三、复合函数 能否将具体函数一般化呢? 设, 单调递增, 单调递增,请问有怎样的单调性？ 复合函数的单调性：同增异减 练习：（1）判断 的单调区间 （2） 是复合函数吗? 函数 单调性 增 增 ______ 增 减 ______ 减 增 ______ 减 减 ______ 13 四、简单运算对函数单调性的影响 我们来研究经过运算后,已知单调性的函数组合后，其单调性能否确定 14 五、最值 求的最小值 初中最值： 函数有最低点，当时， 有最小值； 函数有最高点，当时， 有最大值 Bug在哪里？ 高中最值： 如果函数有最低点，当时， 有最小值； 函数有最高点，当时， 有最大值 15 五、最值 高大上的定义: 最大值：设定义域为,如果存在，满足 ①,都有 ②, 称是的最大值. 最小值：设定义域为,如果存在，满足 ①,都有 ②, 称是的最小值. 2是的最大值_____ 0是的最小值_____ 16 五、最值 练习： 1.已知函数，求函数在区间上的最大值和最小值. 2.设函数的定义域为如果在区间上单调递减，在区间上单调递增，画出的一个大致的图象，从图象上可以发现是函数的一个_________. 3.整个上午天气越来越暖，中午时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山才又开始转凉，画出这一天期间气温作为时间函数的一个可能的图象(示意图)，并说出所画函数的单调区间.根据图象找到最值. 17 五、最值 练习： 4.在上的最小值是 _________ 5.恒成立， 是的最小值 _________ 6.恒成立， 是的最大值 _________ 18 六、单调性的应用 1在上单调递减， ①.比大小: ②.解不等式: ③.求值域: 2满足， ①.比大小: ②.解不等式: 19 3.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为_________________ 4. 若是定义在上的减函数，则不等式的解 集是________． 5.求的单调性. 六、单调性的应用 20 七、课堂小结 单调性、单调区间、单调函数 比大小 单调性 解不等式 单调性定义 复合函数的单调性判断 具体函数的单调性证明 求最值 求值域 $$