广西南宁市第三中学2024届高三下学期校二模数学试题

南宁三中2023～2024学年度下学期高三校二模 数学试题 一、单选题 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知为等差数列，，，则等于（ ） A.21 B.17 C.23 D.20 3.直线：，圆：.则直线被圆所截得的弦长为（ ） A.2 B.4 C. D. 4.若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（ ） A.16 B.20 C.28 D.40 5.已知函数（）图象的一个对称中心为，则（ ） A.在区间上单调递增 B.是图象的一条对称轴 C.在上的值域为 D.将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于轴对称 6.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 7.在中，，，为内一点，，，则（ ） A. B. C. D. 8.已知双曲线：（，）的右焦点为，是双曲线的半焦距，点是圆上一点，线段与双曲线的右支交于点.若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（ ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A. B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 10.如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C.最大值为 D.，，三点共线时 11.如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，上的动点，且，，，则（ ） A.存在使得 B.存在使得平面 C.若，长度为定值，则时三棱锥体积最大 D.当时，直线与所成角的余弦值的最小值为 三、填空题 12.在的展开式中，的系数为______（用数字作答） 13.在中，内角，，的对边分别为，，，，且，则面积的最大值为______. 14.若直线与曲线相切，则的取值范围为______. 四、解答题 15.已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 16.如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的点，且，是线段的中点. （1）求证：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17.某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为. （1）若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望； （2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励.已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率. 18.已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）①求证：有且仅有一个极值点；②当时，设的极值点为，若.求证： 19.已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，双曲线的虚轴长为2，有一条渐近线方程为.如图，点是双曲线上位于第一象限内的点，过点作直线与双曲线的右支交于另外一点，连接并延长交双曲线左支于点，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为. （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （3）求的最小值. 南宁三中2023～2024学年度下学期高三校二模 数学试题参考答案 1. D【详解】由，即，解得， 所以，又， 所以.故选：D 2. D【详解】设的公差为，因为，， 所以，解得，所以，故选：D. 3. B【详解】圆的标准方程为，直线过圆心，所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4.故选：B. 4. C【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有种；分为每组各3人，有种，分组方法共有14种.第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有种.所以，总的分配方案有种.故选：C 5. D【详解】由题意可得（），解得（）， 又，故，即；对A：当时，， 由函数在上不为单调递增，故在区间上不为单调递增，故A错误；对B：当时，，由不是函数的对称轴，故不是图象的对称轴，故B错误；对C：当时，，则，故C错误；对D：将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得，函数关于轴对称，故D正确.故选：D. 6. B【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得，且，可得，所以.故选：B. 7. B【详解】在中，设（），令（），