4.2.1回归直线方程课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

湘教版选择性必修二 4.2 一元线性回归模型 4.2.1 回归直线方程 会将非线性回归模型经过变换转化为线性回归模型，进而进行回归分析。 学习本节后还应初步会将简单的非线性回归问题转化为线性回归问题．(重点、难点) 【课标要求】 【核心扫描】 什么是正相关？ 什么是负相关？ 什么是线性相关？ 什么是回归直线？ 回忆: 回归分析的内容与步骤： 统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量。 回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。 其主要内容和步骤是： 首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量； 其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系； 由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验； 当两变量y与x不具有线性相关关系时，要借助于散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象相比较，找到合适的函数模型，利用变量代换转化为线性函数关系，从而使问题得以解决。 1．可线性化的回归分析 (1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y； (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算相关指数或相关系数等来判断拟合效果； (5)写出非线性回归方程。 2．解决非线性回归问题的方法及步骤： 在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定都呈现线性相关关系，它们之间可能呈现指数关系或对数关系等非线性关系等．在某些情况下可以借助于线性回归模型研究呈现非线性关系的两个变量之间的关系。 我们往往将两个非线性的变量关系转化成线性的变量关系．例如，将幂函数曲线y＝axb转化为u＝c＋bv.其中u＝ln y，v＝ln x，c＝ln a；将指数曲线y＝aebx转化为u＝c＋bx.其中u＝ln y，c＝ln a。 3．非线性变量关系转化为线性变量关系： （上节中作业留下的问题） 数学成绩与物理成绩的散点图中的点在一条直线附近，应怎样找出这一条直线？ 数学成绩为99时估计相应的物理成绩是多少？ 探究讨论: 1、采用测量的方法，先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。 2、在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。 3、在散点图中多取几个点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。 上面的这些方法虽然有一定的道理，但可靠性不强， 所得的直线不只一条，且差别很大， 或者所用方法太繁杂，没有通用性。 怎样才能找到合适的回归直线？ 求回归直线方程的目的是什么？ 用什么标准来确定回归直线？ 探究讨论: 我们希望从整体上看， 各点与此直线的距离(偏差)最小 如何确定一条直线y=bx+a 使散点图中各点到此直线的距离(偏差)之和最小？ 探究讨论: 求它的最小值是很困难的 （x1,y1） （x1,y1） （x1,y1） 记， 则相应于由回归直线得出的估计值与实际值的误差是， 可用 来表示整体上的偏差 含多个绝对值的式子求最小值的运算很不方便，很难找到通用的结果。 为此改用下式来衡量n个点与回归直线整体上的偏差： Q= = 这样，问题归结为： 当 为何值时Q最小（即总体偏差最小）？ 接着经过数学上求最小值的运算，可求得系数 的公式。 最小二乘法 : 这种通过求的 最小值而得到回归直线方程的方法，即求线性回归直线，使得样本数据的点到它的距离(偏差)的平方和最小的方法叫做最小二乘法。 下面请大家用所学知识推导 n=2时的回归直线方程系数公式 探究: 法二 在上式中先把b看作常数，看作关于a的二次函数H(a)， 当 时取最小值g(b)， g(b)是关于b的二次函数，当 时有最小值g min 对一般地n，类似地用二次函数知识求Q最小值，可知当 由下面公式确定时可使Q可最小值 分别为回归直线方程的纵截距与斜率， 当x, y正相关时b>0； 当x, y负相关时b<0. 相关系数公式： 相关系数的性质： 1．rxy的取值范围是[－1，1]．当0<rxy<1时，称{xi}和{yi}正相关（散点图成右上发展趋势）；当－1<rxy<0时，称{xi}和{yi}负相关（散点图成右下发展趋势）；当rxy=0时，称{xi}