24.4.1几何问题教案 2023--2024学年冀教版九年级数学上册

第1课时　几何问题 课时目标 1.经历用一元二次方程解决几何问题的过程,进一步认识方程模型的重要性. 2.能根据几何问题中的数量关系列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 3.在实际应用过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力,进一步增强数学的抽象能力和应用意识. 学习重点 列一元二次方程解决与几何图形面积有关的应用题. 学习难点 在几何问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果的合理性. 课时活动设计 复习导入 1.三角形,正方形,长方形,平行四边形的面积公式是什么呢? 答:S三角形=×底×高,S正方形=边长×边长,S长方形=长×宽,S平行四边形=底×高. 2.解一元二次方程的方法有哪些? 答:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 3.列方程解应用题的一般步骤是什么? 答:审、设、列、解、验、答. 4.列方程解应用题的关键是什么? 解:读懂题意,找到题目中的等量关系. 设计意图:通过复习有关面积的公式及列方程解应用题的步骤,为本节课的探究活动作铺垫. 情境导入 你能求解本章第1节“做一做”的问题吗? 一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1 m吗?设梯子的底端B在地面滑动的距离为x m,已得到方程x2+12x-15=0.请解这个方程,并给出问题的答案. 设计意图:创设实际问题的导入,回顾本章起始内容,让学生感受建模思想在与几何有关的实际问题中的应用,培养学生的运算能力和应用意识. 探究新知 例1　如图,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车处的一面靠墙(墙长22 m),另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2,求这个长方形存车处的长和宽. 学生独立思考,师生共同解答. 1.本题中有哪些数量关系? 2.如何理解“存车处的一面靠墙(墙长22 m),另外三面用90 m长的铁栅栏围起来”? 3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程? 4.解方程并得出结论,对比几种方法各有什么特点? 解法一:设长方形的长为x m,则宽为(90-2x)m, 得方程x(90-2x)=700. 整理,得2x2-90x+700=0. 解得x1=35,x2=10. 当x=35时,90-2x =20 ;当x=10时,90-2x =70 . 由于墙长22 m,所以长方形宽70 m不合题意,即x=10不合题意,舍去. 答:这个长方形存车处的长和宽分别是35 m和20 m. 解法二:设长方形靠墙的一边的长为x m, 得方程x ·=700, 整理,得x2-90x+1 400=0. 解得x1=70,x2=20. 由于墙长22 m,∴x1=70不符合题意,应舍去. 当x=20时,==35. 答:这个长方形存车处的长和宽分别是35 m和20 m. 比较上述两种解法可知,解法二较简便,正确找出等量关系,设出未知数是求解实际问题的关键. 例2　已知一本数学书的长为26 cm,宽为18.5 cm,厚为1 cm.一张长方形包书纸如图所示,它的面积为1 260 cm2,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长. 教师引导学生分析,学生思考,并回答下列问题: 分析:题中的等量关系是 包书纸的长×宽=1 260 cm2 ,设正方形的边长为x cm,则包书纸的长为 (18.5×2+1+2x) cm,包书纸的宽为 (26+2x) cm,则可列方程为 (18.5×2+1+2x)(26+2x)=1 260 .  解:设正方形的边长为x cm,根据题意,得(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1 260. 整理,得x2+32x-68=0. 解这个方程,得x1=2,x2=-34(不符合题意,舍去). 答:正方形的边长是2 cm. 方法点拨:用一元二次方程解决几何问题,主要集中在几何图形的面积问题.这类问题的面积公式是等量关系.如果是规则图形,那么直接运用面积公式列方程即可;如果图形不规则,应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的等量关系,再运用规则图形的面积公式列出方程. 设计意图:从实际问题引入,根据学生已有知识经验,自主探究、小组交流,在教师的引导下,找出问题的等量关系列方程解决问题,充分体现建模思想在解决实际问题的重要性,提升学生分析问题、解决问题的能力. 巩固练习 1.已知一个直角三角形两直角边的和是12,斜边长是10,求这个直角三角形两直角边的长. 解:设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边的长为12-x, 根据题意,得x2+(12-x)2=102. 整理,得x2-12x+22=0. 解这个方程,得x1=6+,x2=6-. 当x=6+时,另一