立体几何中空间三大角应用专题讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

异面直线所成角的计算与应用 一．基本原理 1.异面直线所成角与基本做法 ①定义：设是异面直线，经过空间任一点，作直线，把直线所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角)，其范围为.特别地，如果两条异面直线所成的角是直角，那么两条异面直线互相垂直，记作． 该定义就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把空间图形问题转化为平面图形问题. 具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 2.空间余弦定理：如图，在空间四边形中，连接，设异面直线与的所成角为，那么同理，异面直线与的所成角的余弦值为：；异面直线与的所成角的余弦值为 3.向量法计算公式：异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： ① ② 例1．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例2．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体ABCDEF中，是棱BC的中点，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是___________ 例3．如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 例4.（2022届武汉九月调考）空间四面体中，，，直线与所成角为，则该四面体的体积为_________. 例5．在梯形中, ，且，沿对角线将三角形折起，所得四面体外接球的表面积为，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D．    例6．在四面体中，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为_________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 异面直线所成角的计算与应用 一．基本原理 1.异面直线所成角与基本做法 ①定义：设是异面直线，经过空间任一点，作直线，把直线所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角)，其范围为.特别地，如果两条异面直线所成的角是直角，那么两条异面直线互相垂直，记作． 该定义就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把空间图形问题转化为平面图形问题. 具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 2.空间余弦定理：如图，在空间四边形中，连接，设异面直线与的所成角为，那么同理，异面直线与的所成角的余弦值为：；异面直线与的所成角的余弦值为 3.向量法计算公式：异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： ① ② 例1．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 解析：连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角），在中，，则,则异面直线与所成角的余弦值为.故选：B. 例2．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体ABCDEF中，是棱BC的中点，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是___________ 解析：取棱AB的中点，连接HG，FG，因为H，G分别是棱BC，AB的中点，所以，则是异面直线HF与AC所成的角或补角，设，则，在中，由余弦定理可得，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是. 例3．如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 解析：连结，取中点，连结，，如图所示，  则，可知即为异面直线，所成角（或其补角）， ，， ，， 所以，即异面直线，所成角的余弦值为.故选：D 例4.（2022届武汉九月调考）空间四面体中，，，直线与所成角为，则该四面体的体积为_________. 解析：（方法1）∵  AB=2，BC=，AC=4，∴ 为直角三角形，同理可得为直角三角形，如图，作直角三角形和斜边上的高BE，DF，则AE=CF=1 ∴   E，F是线段AC的两个四等分点，作平行四边形BEFG，则BE⊥AC，DF⊥AC， 由线面