复习04讲 三角形的重心、垂心、外心、内心、奔驰定理的应用（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习04讲 三角形的重心、垂心、外心、内心、奔驰定理的应用（精讲+精练） ①三角形的重心 ②三角形的垂心 ③三角形的外心 ④三角形的内心 一、三角形的四心定义 外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 二、三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 重要结论：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 三、三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 重要结论：若点是△的外心，则 或 ；反之，若或 ，则点是△的外心。 四、三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 重要结论：若点是△的内心，则有；反之，若，则点是△的内心． 五、垂心 三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心. 重要结论：若是△的垂心，则或 ，反之，若或 ，则是△的垂心． 六、奔驰定理 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故． ①三角形的重心 策略方法 （1）点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江绍兴·阶段练习）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C．0 D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，，G为的重心，若，则外接圆的半径为（    ） A． B．2 C． D． 5．（23-24高一上·广西玉林·开学考试）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）    A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3 6．（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 7．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）如图，在的边上作匀速运动的三个点P，S，R，当时，分别从A，B，C出发，当时，恰好同时到达．那么这个运动过程中的定点是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 二、填空题 8．（2023高一·全国·单元测试）在中，，，，分别是边，，的中点，是的重心，若，则 . 9．（22-23高一下·全国·单元测试）已知是内部一点，且满足，又，，则的面积为 ． 10．（22-23高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，，，若是的重心，则 . ②三角形的垂心 策略方法 若是△的垂心，则 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 2．（23-24高一下·山东·期中）设是的垂心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南·期中）已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 4．（23-24高一下·福