11.4.1直线与平面垂直第1课时课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11．4　空间中的垂直关系 11．4.1　直线与平面垂直 第1课时　直线与直线所成角 数学 目标导向 数学 数学 自主预习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 学习目标 核心素养 掌握异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角 直观想象 数学运算 掌握直线与直线垂直的定义，会证明直线垂直关系 逻辑推理 新知初探 异面直线所成角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的____叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)垂直：如果两条异面直线所成的角是______，就说这两条异面直线__________．直线a与直线b垂直，记作______． (3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°. 名师点拨 对异面直线所成的角的认识理解的注意点： (1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关． (2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算． (3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直． 答案 (1)角 (2)直角　互相垂直　a⊥b 初试身手 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.故选B. 答案：B 2．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________. 解析：因为a∥OA，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以根据等角定理，a与OB所成的角为60°. 答案：60° 3．已知正方体ABCDEFGH，则AH与FG所成的角是________． 解析：连接BG(图略)，则BG∥AH，所以∠BGF(或其补角)为异面直线AH与FG所成的角. 因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°. 答案：45° 类型1　异面直线所成的角 【例1】　如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心． 求：(1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角． 　 【解】　(1)如图，因为CG∥BF， 所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF＝45°， 所以BE与CG所成的角为45°. (2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB， 所以HD∥FB， 又HD＝FB， 所以四边形HFBD为平行四边形． 所以HF∥BD， 所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角． 连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF， 所以△AFH为等边三角形， 又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°， 即FO与BD所成的角为30°. 【规律方法】 求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求． 提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°. 跟踪训练1 如图所示，在三棱锥ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角． 解：取BD的中点G， 连接EG，FG(图略). 因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD， 所以EG∥CD，GF∥AB， 且EG＝ eq \f(1,2)CD，GF＝ eq \f(1,2)AB. 所以∠GFE(或其补角)就是异面直线EF与AB所成的角，且EG＝GF. 因为AB⊥CD，所以EG⊥GF. 所以∠EGF＝90°. 又EG＝GF，所以△EFG为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°， 即EF与AB所成的角为45°. 类型2　直线与直线垂直 【例2】　如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点． 求证：CD1⊥EF. 　 【证明】　取CD1的中点G，连接EG，DG. 因为E是BD1的中点， 所以EG∥BC，EG＝ eq \f(1,2)BC. 因为F是AD的中点，且AD