奥数新起点 第28讲 统筹安排（讲义）-2023-2024学年四年级上册数学人教版

第28讲 统筹安排 我国古代有一句话：“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外。”后人用这句话来形容领导者在后方筹划、制定作战策略，能决定千里之外的战争胜负。这里“运筹”是制定策略、策划、统筹安排的意思。 在日常生活学习和生产、工作中经常遇到一些事情需要我们进行合理的安排，即要在某一段时间内做好几件事情或完成各项任务，还要考虑到尽可能精打细算，节省时间、人力和物力，从而发挥出最大的效率。 【模块一：知识点拨】 统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。 【模块二：精讲精练】 【例1】 妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要20分钟。为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？ 解析：本题取自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》。烧水沏茶的情况是：开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取。开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件。它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示： 箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如→表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟。从图上可以一眼看出，总共要16分钟。 参考答案： 先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，同时洗壶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟。又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须用1分钟洗开水壶，所以用16分钟是最少的。 【例2】用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎2013个饼至少需要几分钟？ 解析： 由于2013数目较大，直接入手不容易。我们不妨先从较小的数目来进行探索规律。 如果只煎1个饼，显然需要2分钟；如果煎2个饼，仍然需要2分钟； 如果煎3个饼，最优方法应该是：首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼。 根据2个饼、3个饼的煎法可以推广至2013个。 参考答案：结合2个饼、3个饼的煎法，可知，煎前2010个饼时，每两个饼需要2分钟，分2010÷2=1005（次）煎完，共需要2×1005=2010（分钟）；最后3个饼最少需要3分钟，这样煎2013个饼至少需要2010+3=2013（分钟） 【课堂精炼】 1. 学堂附近的一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。一号仓库有10吨货物，二号仓库有40吨货物，五号仓库有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有货物集中到一个仓库中，如果每吨货物运输1千米需要1元运费，那么如何安排才能使运费最少？最少是多少元？ 解析：这是最优地址的选择问题，共有5种方案可供选择。将5中方案所需要的运费一一计算出来，再通过比较即可得到我们所需要的最优方案，即运费最少。 参考答案： ① 若选择一号仓库，则运费为：20×100+40×100×4=18000（元）； ② 若选择二号仓库，则运费为：10×100+40×100×3=13000（元）； ③ 若选择三号仓库，则运费为：10×100×2+40×100×2=12000（元）； ④ 若选择四号仓库，则运费为：10×100×3+20×100×2+40×100=11000（元）； ⑤ 若选择五号仓库，则运费为：10×100×4+20×100×3=10000（元）； 综上，要使运费最少，