2.5.1直线与圆的位置关系(3) 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．5.1　直线与圆的位置关系(3) 1. 综合运用直线和圆的位置关系解决相关的数学问题和实际问题． 2. 体会数形结合思想及分类讨论思想在直线与圆的位置关系中的应用． 活动一 直线与圆位置关系的综合应用 例1　已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，证明：当m∈R时，直线l与圆C必相交，并求相交弦长的最小值及对应的m的值． 例2　如图，已知圆O的方程为x2＋y2＝2，M是直线x＝－2上的任意一点，过点M作圆O的两条切线，切点分别是P，Q，线段PQ的中点为N. (1) 当点M运动到x轴上时，求出点P，Q的坐标； (2) 当点M在x轴上方运动且∠PMQ＝60°时，求直线PQ的方程； (3) 求证：OM·ON＝OP2，并求点N的轨迹方程． 活动二　直线与圆的位置关系的实际应用　 例3　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m). 1. 建立平面直角坐标系的原则： (1) 若曲线是轴对称图形，则可选对称轴为坐标轴； (2) 常选特殊点作为直角坐标系的原点． (3) 尽量使已知点位于坐标轴上． 2. 坐标法和几何法的特点： (1) 坐标法：思考量小，直观简洁； (2) 几何法：思考量大，需作辅助线，多次计算． 例4　一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算的结果“翻译”成几何结论． 1. 圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. (2024益阳期末)若直线y＝kx＋3上存在点P，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，A，B为切点，满足·＝0，则实数k的取值范围是(　　) A. [－，] B. (－∞，－ ]∪[，＋∞) C. [－，] D. (－∞，－ ]∪[，＋∞) 3. (多选)(2023武汉期中)已知点M在直线l：x＋y＝4上移动，圆O：x2＋y2＝4，直线MP，MQ是圆O的切线，切点为P，Q.设OM∩PQ＝N，则下列说法中正确的是(　　) A. PQ⊥OM B. 存在点M，使得∠PMQ＝120° C. 四边形OPMQ面积的取值范围是[4，＋∞) D. 当点M的坐标为(1，3)时，直线PQ的方程为x＋3y－2＝0 4. (2024永州期末)已知点A(－2，0)，B(2，0)，若在直线l：y＝a(x－)上至少存在3个不同的点P，使得△PAB为直角三角形，则实数a的取值范围为________． 5. (2024玉林期末)如图，四边形MNPQ是一块长方形绿地，MQ＝3 km，MN＝2 km，RS是一条直路，交MN于点R，交MQ于点S，且MR＝SQ＝1 km.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到P，R，S三个点的距离相等．以M为坐标原点，直线MN，MQ分别为x轴，y轴建立如图所示的直角坐标系． (1) 求出建筑物的中心C的坐标； (2) 由建筑物的中心到直路RS要开通一条路，已知路的造价为150万元/km，求开通的这条路的最低造价． (附：参考数据≈1.414，≈1.732，≈2.24.) 【参考答案与解析】 2．5.1　直线与圆的位置关系(3) 【活动方案】 例1　直线l的方程整理为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0， 令解得 所以直线l过定点(3，1). 又因为(3－1)2＋(1－2)2<25， 所以点(3，1)在圆C内， 所以直线l与圆C必相交． 圆心(1，2)与定点(3，1)的连线l1的斜率k＝－，两点间的距离d＝. 当l1⊥l时，直线l与圆C相交的弦长最小， 则－＝2，解得m＝－， 所以相交弦长的最小值为2＝4， 即相交弦长的最小值为4，对应的m的值为－. 例2　(1) 当点M运动到x轴上时，OP＝，OM＝2. 由OP⊥MP，得MP＝＝OP， 所以直线PQ垂直平分线段OM， 所以点P，Q的横坐标为－1. 因为点P，Q在圆x2＋y2＝2上， 所以点P的坐标为(－1，1)，点Q的坐标为(－1，－1). (2) 连接OM，OP，OQ，则点N在OM上． 设点M的坐标为(－2，m)(m>0). 因为∠PMQ＝60°， 所以∠OMP＝30°，则OM＝2