2.4.3 圆的方程习题课 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．4.3　圆的方程习题课 1. 掌握圆的标准方程和一般方程的结构特征． 2. 能根据题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题． 3. 能灵活运用圆的几何性质解决问题． 活动一 求圆的方程 例1　求以点A(1，2)为圆心，并与x轴相切的圆的方程． 思考1►►► 若将例1中“与x轴相切”变为“与y轴相切”，则结果如何？ 例2　求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 活动二　圆的定义的应用　 例3　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (1) 直角顶点C的轨迹方程； (2) 直角边BC的中点M的轨迹方程． 思考2►►► 例3能否从圆的定义入手探求点M的轨迹方程？ 活动三　圆的方程在实际问题中的应用　 例4　(2024揭阳期中)如图，m，n分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中O为m，n的交点．若A，B两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且A，B之间的公交线路是圆心在n上的一段圆弧，站点A到直线m，n的距离分别为1 km和10 km，站点B到直线m，n的距离分别为9 km和6 km. (1) 建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； (2) 为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道n上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址(注：地址视为一个点，设为点C)在点O上方，且点C到点O的距离d大于2 km且小于10 km，并要求公交线路(即圆弧AB)上任意一点到游乐场C的距离不小于2 km，求游乐场C距点O距离的最大值． 1. 已知圆的内接正方形相对的两个顶点为A(5，6)，C(3，－4)，则该圆的方程为(　　) A. (x＋4)2＋(y－1)2＝26 B. (x－4)2＋(y－1)2＝104 C. (x－4)2＋(y－1)2＝26 D. (x＋4)2＋(y＋1)2＝26 2. (2024汕尾期末)已知点A(－1，0)，B(2，0)，动点M到点B的距离是它到点A的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是(　　) A. (x＋3)2＋y2＝3 B. (x＋2)2＋y2＝4 C. x2＋(y－3)2＝3 D. x2＋(y＋2)2＝4 3. (多选)(2023全国模拟预测)已知A是圆P：(x－1)2＋(y－3)2＝1上任意一点，Q是直线 x＋y－5＝0与x轴的交点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　) A. 以线段AQ为直径的圆周长最小值为8π B. △APQ面积的最大值为 C. 以线段AQ为直径的圆不可能过坐标原点O D. ·的最大值为25 4. (2023北京十二中阶段练习)由曲线x2＋y2＝x＋|y|围成的图形的面积为________． 5. 在平面直角坐标系Oxy中，已知四点A(0，1)，B(3，0)，C(1，4)，D(0，3). (1) 这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由； (2) 求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标． 【参考答案与解析】 2．4.3　圆的方程习题课 【活动方案】 例1　因为圆与x轴相切，所以该圆的半径即为圆心A(1，2)到x轴的距离，即r＝2，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4. 思考1：若圆与y轴相切，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1. 例2　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则解得 所以圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 例3　(1) 设点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1， 化简，得x2＋y2－2x－3＝0. 故直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). (2) 设点M(x，y)，C(x0，y0). 因为B(3，0), M是线段BC的中点， 由中点坐标公式，得x＝，y＝， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 故动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 思考2：由题意可知M是直角边BC的中点，取AB的中点D(1，0)，则DM∥AC，所以DM⊥BM，所以点M的轨迹是以BD为直径的圆(除去点B，D)，所以点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 例4　(1) 以O为坐标原点，直线m，n分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(10，1)，B(6，9).设圆弧AB所在圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 因