2.4.2圆的一般方程学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．4.2　圆的一般方程 1. 理解圆的一般方程及其特点． 2. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化． 3. 会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题． 活动一 探究圆的一般方程 1. 复习巩固：圆的标准方程是什么？ 思考1►►► 将圆的标准方程展开，得到的是关于x，y的什么形式的方程？ 思考2►►► 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它一定表示圆吗？ (1) 当D2＋E2－4F>0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？ (2) 当D2＋E2－4F＝0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？ (3) 当D2＋E2－4F<0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？ 2. 圆的一般方程： 思考3►►► 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 活动二　巩固圆的一般方程，能由圆的一般方程确定圆心和半径 例1　下列方程是否表示圆？若表示圆，写出其圆心的坐标和半径． (1) x2＋y2－4x＝0； (2) x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3) x2＋y2－4x－2y＋5＝0； (4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0. 活动三　能根据已知条件求圆的方程　 例2　求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 思考4►►► 确定一个圆的一般方程需要几个独立条件？ 用待定系数法求圆的方程的步骤： (1) 根据题意，选择标准方程或一般方程； (2) 根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3) 解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程． 思考5►►► 点与圆的位置关系： (1) 已知点A(m，n)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，如何判断点A与圆C的位置关系？ (2) 已知圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，如何判断点A(m，n)与圆的位置关系？ 例3　已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程． 1. (2023全国联考期中)“实数m<2”是“方程x2＋y2－3x＋y＋m＝0表示圆”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. (2024山西吕梁期末)已知圆O：x2＋y2－4x＋6y＋5＝0，则圆心O和半径r分别为(　　) A. O(－2，3)，r＝3 B. O(2，－3)，r＝2 C. O(－2，3)，r＝2 D. O(2，－3)，r＝3 3. (多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则实数a的取值可能为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心的坐标为________. 5. (2023安徽联考)一般地，平面内到两个定点P，Q的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的动点F的轨迹是圆，此圆便是数学史上著名的“阿波罗尼斯圆”．基于上述事实，完成如下问题： (1) 已知点A1(1，0)，A2(－2，0)，若＝，求动点M的轨迹方程； (2) 已知点N在圆(x－3)2＋y2＝4上运动，点A3(－1，0)，探究：是否存在定点A4，使得＝2？若存在，求出定点A4的坐标；若不存在，请说明理由． 【参考答案与解析】 2．4.2　圆的一般方程 【活动方案】 1. 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). 思考1：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0. 思考2：表示的不一定是圆． (1) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆． (2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，表示一个点. (3) 当D2＋E2－4F<0时，方程无实数解，不表示任何图形． 2. x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 思考3：略 例1　(1) 因为(－4)2＋0－4×0＝16>0，所以方程 x2＋y2－4x＝0表示一个圆，圆心为(2，0)，半径为2. (2) 方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0不表示圆． (3) 因为(－4)2＋(－2)2－4×5＝0，所以方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示圆． (4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0可化成x2＋y2－2x＋3＝0，因为(－2)2＋0－4×3<0，所以方程2x2＋2y2－4x＋6＝0不表示圆． 例2　设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.① 因为O，M1，M2三点