2.3.3 点到直线的距离公式 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．3.3　点到直线的距离公式 1. 会用向量工具推导点到直线的距离公式． 2. 掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线的距离公式解决有关距离问题． 3. 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 活动一 探究点到直线距离的求法 探究： 如图，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，如何求点P到直线l的距离？ 思考1►►► 这种解法的优缺点是什么？ 思考2►►► 向量是解决距离、角度问题的有力工具．能否用向量方法求点到直线的距离？ 思考3►►► 比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？ 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝. 活动二　通过简单运用加深对点到直线距离公式的理解　 例1　求点P(－1，2)到下列直线的距离． (1) 2x＋y－10＝0；　(2) y＝3x＋2； (3) x＝3; (4) y＝－1. 思考4►►► (3)(4)小题有其他解法吗？ 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题： (1) 直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2) 点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3) 在直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 　　　已知直线l经过点M(－1，2)，且A(2，3)，B(－4，5)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程． 例2　已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积． 1. 已知直线l经过原点，且点M(5，0)到直线l的距离等于3，则直线l的方程为(　　) A. 3x－4y＝0 B. 3x＋4y＝0 C. 4x－3y＝0或4x＋3y＝0 D. 3x－4y＝0或3x＋4y＝0 2. (2024南阳期末)已知P为两条直线2x－3y＋1＝0和x＋y－2＝0的交点，则点P到直线l：kx－y＋k＋2＝0的距离的最大值为(　　) A. B. C. D. 5 3. (多选)已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程可以是(　　) A. 2x＋3y－18＝0 B. 2x－y－2＝0 C. 3x－2y＋18＝0 D. 2x－y＋2＝0 4. (2024沈阳联考)对任意的实数λ，原点O(0，0)到直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0的距离d的取值范围为________． 5. (2024盐城中学期末)已知直线l的倾斜角为α，cos α＝，且这条直线经过点P(1，2). (1) 求直线l的方程； (2) 若直线a：mx－y＋1－m＝0恒过定点A，求点A到直线l的距离． 【参考答案与解析】 2．3.3　点到直线的距离公式 【活动方案】 探究：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足，所以求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出PQ，就可以得到点P到直线l的距离． 设A≠0，B≠0.由PQ⊥l，直线l1与直线l2的方程以及直线l的斜率为－，得直线l的垂线PQ的斜率为， 所以垂线PQ的方程为y－y0＝(x－x0)，即Bx－Ay＝Bx0－Ay0. 解方程组 得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为 ，所以PQ＝ ＝＝， 所以点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立． 思考1：思路自然但运算量较大． 思考2：能，点P到直线l的距离，就是向量的模．设M(x，y)是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在n上的投影向量，||＝|·n|. 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l：Ax＋By＋C＝0上的任意两点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的方向向量． 将Ax1＋By1＋C＝0，Ax2＋By2＋C＝0两式相减，得A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0. 由平面向量的数量积运算可知，向量(A，B)与向量(x2－x1，y2－y1)垂直．向量(A，B)就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量．我们取n＝(A，B)， 所以·n＝(x－x0，y－y0)·(A，B) ＝[A(x－x0)＋B(y－y0)] ＝(Ax＋By－Ax0－By0).① 因为点M(x，y)在直线l上，所以Ax＋By＋C＝0，所以Ax＋By ＝－C.代入①式， 得 ·n＝(－Ax0－By