2.2.4 直线的方程习题课 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．2.4　直线的方程习题课 1. 熟练掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转化，及各种形式在解题中的灵活运用． 2. 了解直线的方程和直线之间的对应关系． 活动一 巩固直线方程的各种形式 直线方程的各种形式及适用范围 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含与x轴或y轴垂直的直线 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用 练习　 (1) 直线l经过两点(1，－2)，(－3，4)，则该直线的方程是_______________ ______________________________； (2) 从直线l上的一点A到另一点B的纵坐标增量是3，横坐标增量是－2，则该直线的斜率是________；　 (3) 过点A(1，2)，且横、纵截距的绝对值相等的直线方程为________________ ____； (4) 过点P(4，3)作直线l，它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则直线l的方程为_____________________________. 活动二 灵活运用直线方程的几种形式 例1　一条直线经过点M(2，1)，且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程． 例2　在△ABC中，已知点A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0). (1) 若AB，AC的中点分别为M，N，求直线MN的方程，并化为一般式方程； (2) 求边BC上的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0(a∈R). (1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2) 若使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 例4　已知在△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝，∠B＝，且点C在第一象限．求： (1) 线段AB的方程； (2) 边AC和边BC所在直线的方程. 活动三 直线方程的综合应用 例5　(1) 求经过点A(8，－2)，倾斜角为60°的直线的一般式方程； (2) △ABC的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求边BC上的中线所在的直线方程． 例6　已知直线l的方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0. (1) 求证：不论m为何值，直线必过定点M； (2) 过(1)中的点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求直线l1的方程． 1. 已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于，在y轴上的截距为－2，则直线m的方程为(　　) A. y＝x－2 B. y＝x－2 C. y＝－x－2 D. y＝x＋2 2. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(1，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　) A. x－2y－4＝0 B. 2x＋y－4＝0 C. 4x＋2y＋1＝0 D. 2x－4y＋1＝0 3. (多选)(2024泊头第一中学阶段练习)已知△ABC的三个顶点分别是A(3，a)，B(6，1)，C(3，4)，且边BC上的高所在的直线方程为l：y＝x＋3，则下列结论中正确的是(　　) A. a＝±6 B. 边BC上的中线所在的直线方程为7x＋3y－39＝0 C. 过点A且平行于BC的直线方程为x＋y－9＝0 D. △ABC三边所在的直线中，直线AB的倾斜角最大 4. (2023无锡太湖高级中学期中)已知直线l1：x－2y－2＝0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为________． 5. 根据所给条件求直线的方程： (1) 直线过点A(1，2)，倾斜角α的正弦值为； (2) 直线过点A(1，3)，且在两坐标轴上的截距之和为8. 【参考答案与解析】 2．2.4　直线的方程习题课 【活动方案】 练习：(1) 3x＋2y＋1＝0 (2) － (3) 2x－y＝0或x－y＋1＝0或x＋y－3＝0 (4) 3x－2y－6＝0或3x－8y＋12＝0 例1　设所求直线的方程为＋＝1(ab≠0). 由题意，得解得或 所以直线的方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0. 例2　(1) 由题意，得AB，AC的中点坐标分别为M(，1)，N，由两点式，得＝，所以直线的一般式方程为6x－8y－13＝0. (2) 因为边BC的中点坐标