2.2.2 直线的两点式方程 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.2 直线的两点式方程 1. 掌握直线的两点式(截距式)方程,了解截距式是两点式的特殊情况. 2. 能够根据条件选择适当的方程形式求直线的方程. 活动一 探究直线的两点式方程 1. 巩固直线的点斜式(斜截式)方程: 练习 已知直线l经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程. 思考1 已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2.因为两点确定一条直线,所以直线l是唯一确定的.也就是说,对于直线l上的任意一点P(x,y),它的坐标与点P1,P2的坐标之间具有唯一确定的关系,这一关系是什么呢? 结论: 直线的两点式方程: 思考2 若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2,此时这两点的直线方程是什么? 思考3 (1) 方程=(其中x1≠x2)的左、右两边各具有怎样的几何意义?它表示什么图形? (2) 方程=(其中x1≠x2)和方程=(其中x1≠x2,y1≠y2)表示同一个图形吗? (3) 直线的两点式方程能否表示所有的直线?是否可以通过适当变形适合所有直线呢? 活动二 根据直线的两点式方程求直线方程 例1 已知直线l经过两点A(a,0),B(0,b),其中ab≠0,求直线l的方程. 定义:由直线l在两条坐标轴上的截距a,b确定的方程+=1叫做直线的截距式方程,简称截距式. 思考4 直线的截距式方程适用的范围是什么? 例2 已知三角形的顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形三边所在的直线方程. 思考5 根据已知条件,如何选择恰当的形式求直线的方程? 活动三 截距概念的辨析 例3 求过点P(3,2),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 直线在两坐标轴上截距相等,直接考虑截距式方程+=1,也可以由图形性质,得到k=-1时截距相等,从而选用点斜式.解题时特别要注意截距都是0的情况,这时选用方程y=kx. 变式 把“截距相等”改为“截距的绝对值相等”,结果如何? 1. 经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线的方程为( ) A. x=2 B. y=2 C. x=3 D. x=6 2. (2024全国专题练习)已知直线3x+4y=b与两坐标轴围成的三角形的面积为,则实数b的值为( ) A. 6 B. 6或-6 C. -6 D. 2或12 3. (多选)(2024舟山期末)下列说法中,正确的是( ) A. 直线x-y-2=0的倾斜角为 B. 直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C. 过点(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线方程为x-y+3=0 D. 过(1,4),(x0,y0)两点的直线方程为= 4. 过点A(5,6)和B(-1,2)的直线的两点式方程是_. 5. (2023东莞中学阶段练习)在 ABC中,已知点A(4,0),B(-3,4),C(1,2). (1) 求线段BC的垂直平分线所在直线l的方程. (2) 已知直线l2过点B,且l2在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l2的方程. 【参考答案与解析】 2.2.2 直线的两点式方程 【活动方案】 1. 直线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0)(直线的斜截式方程为y=kx+b). 练习:由题意,得y-2=(x-1),化简,得y=x+.故直线l的方程为y=x+. 思考1:因为x1≠x2,所以直线的斜率k=, 由直线的点斜式方程,得y-y1=(x-x1). 因为y1≠y2,所以方程可以写成=. 故点P(x,y)的坐标与点P1,P2的坐标之间的关系是=. 结论:=(其中x1≠x2,y1≠y2). 思考2:若x1=x2或y1=y2,则直线P1P2没有两点式方程. 当x1=x2时,这两点的直线方程为x=x1; 当y1=y2时,这两点的直线方程为y=y1. 思考3:(1) 表示曲线上的点在运动时,动点和一个定点的连线的斜率始终等于两定点连线的斜率,它表示的图形是一条直线(不包含点(x1,y1)). (2) 不是.后者表示的图形是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线,前者为这条直线除去点P1. (3) 两点式不适用于与两坐标轴垂直的直线.变形之后可以适合所有直线. 例1 因为直线l经过两点A(a,0),B(0,b), 代入两点式,得=,即+=1. 思考4:适合已知截距a(与x轴的交点(a,0))及截距b(与y轴的交点(0,b)),不适合过原点的直线. 例2 因为直线AB过A(-5,0),B(3,-3)两点,由两点式,得=, 整理,得直线AB的方程为3x+8y+15=0. 因为直线BC过B(3,-3),C(0,2)两点,斜率k==-,由点斜式,得y-2=-(x-0), 整理,得直线BC的方程为5x+3y-6=0. 因为直线AC过A(-5