2.2.1 直线的点斜式方程 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 1. 掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程． 2. 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系． 3. 会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题． 活动一 探究直线的点斜式方程 知识回顾： (1) 直线倾斜角、斜率的定义： (2) 直线斜率与倾斜角的关系： (3) 直线斜率及倾斜角对直线方向变化的影响： 探究： 问题1：如果直线l经过点A(－1，3)，斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标(x，y)满足什么条件？ 思考1►►► 以所求方程的解为坐标的点是否都在直线l上？ 问题2：设直线l经过点P0(x0，y0)，斜率为k，则直线l上不同于点P0的任意一点P(x，y)满足的方程是什么？ 思考2►►► 以这个方程的解为坐标的点是否都在直线l上？ 结论： (1) 直线的方程： (2) 直线的点斜式方程： 思考3►►► (1) 当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？为什么？当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程如何表示？为什么？ (2) 直线的点斜式方程y＝k(x＋1)＋3能否表示经过点(－1，3)的所有直线呢？ (3) 方程＝k表示的几何图形是整条直线吗？ 例1　直线l经过点P0(－2，3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 思考4►►► 直线满足哪些条件时可直接利用点斜式写出直线方程？ 例2　已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线l的方程． 定义： (1) 直线l与x轴交于点(a，0)，与y轴交于点(0，b)，称横坐标a为直线l在x轴上的截距(横截距)，称纵坐标b为直线l在y轴上的截距(纵截距). (2) 由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的方程y＝kx＋b，叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 思考5►►► “截距”与“距离”有何区别？ 思考6►►► (1) 观察方程y＝kx＋b，它的形式具有什么特点？ (2) 你如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx＋b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3图象的特点吗？ 活动二　直线方程的简单应用　 例3　已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.试讨论： (1) l1∥l2的条件是什么？ (2) l1⊥l2的条件是什么？ 例4　在同一平面直角坐标系中作出下列两组直线，分别说出这两组直线有什么共同特征？ (1) y＝2，y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝3x＋2，y＝－3x＋2； (2) y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x－1，y＝2x＋4，y＝2x－4. 1. (2024山东联合质量检测)已知直线y＝x的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的两倍，则实数m的值为(　　) A. －3 B. － C. D. 3 2. (2024大同期末质量监测)若直线l过点A(4，5)，B(1，－1)，则直线l在y轴上的截距是(　　) A. B. 3 C. － D. －3 3. (多选)(2024常德汉寿县第五中学期中)直线l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a(ab≠0)的图象可能是(　　) A B C D 4. (2024东莞实验中学月考)数学家欧拉于1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，0)，则△ABC的欧拉线方程是________． 5. (2024益阳普通高中期末质量检测)已知两点A(3，－3)和B(－1，5). (1) 记点A关于x轴的对称点为C，求直线BC的方程； (2) 求线段AB的垂直平分线的方程． 【参考答案与解析】 2．2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 【活动方案】 知识回顾：略 问题1：当点P(x，y)在直线l上运动时(除点A外)，点P与定点A(－1，3)所确定的直线的斜率恒等于－2，所以由斜率公式，得k＝＝－2，即点P的坐标(x，y)满足y＝－2x＋1. 思考1：若点P′(x′，y′)的坐标满足方程y＝－2x＋1，即y′＝－2x′＋1.当x′＝－1时，y′＝3，此时点P′与点A重合，即点P′在直线l上；当x≠－1时，y′－3＝－2[x′－(－1)]，即＝－2，这表明过点P′，A的直线l1的斜率为－2.因为直线l，l1的斜率都为－2，且都过点A，所以它们重合，从而点P′在直线l上，因此以方程y＝－2x＋1的解为坐标的点也都在直线l上． 问题2：由斜率公式，得k＝，即y－y0＝k(x－x0). 思考2：若点P1(x