第1章 空间向量与立体几何 复习 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第1章 空间向量与立体几何 本章复习 1. 梳理本章知识，构建知识网络． 2. 巩固空间向量的有关知识． 3. 会用向量法解决立体几何问题． 活动一 构建知识网络 1. 知识结构框图： 2. 空间中点、线、面位置关系的向量表示： 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行 l∥m ⇔a∥b ⇔∃k∈R，使得a＝kb 线面平行 l∥α ⇔a⊥μ ⇔a·μ＝0 面面平行 α∥β ⇔μ∥v ⇔∃k∈R，使得μ＝kv 线线垂直 l⊥m ⇔a⊥b ⇔a·b＝0 线面垂直 l⊥α ⇔a∥μ ⇔∃k∈R，使得a＝kμ 面面垂直 α⊥β ⇔μ⊥v ⇔μ·v＝0 线线夹角 l，m的夹角为θ，cos θ＝ 线面夹角 l，α的夹角为θ，sin θ＝ 面面夹角 α，β的夹角为θ，|cos θ|＝ 3. 用向量法解决立体几何问题： 步骤如下： (1) 建立适当的空间直角坐标系； (2) 写出相关点的坐标及向量的坐标； (3) 进行相关坐标的运算； (4) 写出几何意义下的结论． 关键点如下： (1) 选择恰当的坐标系．坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程； (2) 点的坐标、向量的坐标的确定．将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题； (3) 几何问题与向量问题的转化．平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是解决这类问题的关键． 活动二 空间向量的概念及运算 例1　(1) 判断下列各命题的真假：①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (2) 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，点S到点A，B，C，D的距离都等于2. 给出以下结论： ①＋＋＋＝0; ②＋－－＝0； ③－＋－＝0; ④·＝·； ⑤·＝0， 其中正确结论的序号是________． 活动三 利用空间向量证明位置关系 例2　如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．求证： (1) BM∥平面ADEF； (2) BC⊥平面BDE. 变式　本例条件不变，如何证明平面BCE⊥平面BDE. 活动四 利用空间向量求空间角 例3　如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，G为AB的中点，AB＝BE＝2. (1) 求证：EG∥平面ADF； (2) 求二面角O-EF-C的正弦值； (3) 设H为线段AF上的一点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值． 1. (2024佛山期末)在棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是CC′的中点．设在上的投影向量为a，则|a|等于(　　) A. B. C. D. 2. (2024青岛期末)已知四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，＝λ(λ>0)，N为BC的中点，若＝－a＋b＋c，则λ的值为(　　) A. 3 B. 2 C. D. 3. (多选)(2024唐山期末)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，M，N分别是AB，A1C1的中点，则下列结论中正确的是(　　) A. MN⊥AC B. MN∥BC1 C. MN＝ D. MN∥平面BCC1B1 4. (2023北京期中)已知空间向量a＝(2，－1，1)，b＝(1，1，2)，则|a＋b|＝________． 5. (2024天津蓟州区第一中学期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，PA＝4，AB＝AD＝BC＝2，E为棱BC上的点，且BE＝BC. (1) 求证：DE⊥平面PAC； (2) 求平面PAC与平面PCD夹角的正弦值； (3) 求点E到平面PCD的距离． 【参考答案与解析】 本 章 复 习 【活动方案】 例1　(1) C　①假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段． (2) ③④　可以推出－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos ∠ASB，·＝2×2× cos ∠CSD.又∠ASB＝∠CSD，所以·＝·，故④正确，其余三个都不正确