第23讲图形的个数（讲义）-2023-2024学年四年级上册数学人教版

第23讲 图形的个数 生活中，我们会经常遇到“数出某种图形的个数”这一类有趣的图形问题，由于图形千变万化，错综复杂，所以准确的数出其中包含的某种图形的个数，需要有条理，不重复、不遗漏地去找规律数图形。今天我们来一起找规律巧数图形。 在数的过程中，大家是不是觉得门前大桥下，游过一群鸭，快来快来数一数24678，数来数去数不清呀？这就要求我们开动脑筋巧数图形。巧数图形的基本要求：不重复、不遗漏，按照一定顺序或按分类方式有规律地计数。弄清图形中包含的基本图形，再数出由基本图形组成的新图形。还可以固定一个点、一条边、一个图形，然后有规律、有顺序地数出来，算出他们的和。 【模块一：知识点拨】 小学数学数图形个数技巧： 1、数线段：每两点之间依次标上1，2，3……n，再将所标的所有数相加，即为所有线段的条数，则有1+2+3+4+……+(n-1)条线段。 2、数角的个数：每相邻两条射线之间依次标上1，2，3……，再将标的所有数相加，就是为所有角的个数，因此有1+2+3+4+……+(n-1)个角。 3、数长方形的个数：数长方形可以用下面的公式：长边上的线段总数×短边上的线段总数=长方形的个数。 4、数正方形的个数：由相同的n×n个小方格组成的正方形中所含的正方形个数为：1×1+2×2+…+n×n。 【模块二：精讲精练】 【例1】 数出图5-1中各条线上线段的总条数。 ⑴ └──┴──┴──┘ ⑵ └─┴─┴─┴─┴─┴─┘ 分析 ⑴ 图中线上有三条独立线段，我们将这三条独立线段编上号，如图5-2： 1 2 3 └──┴──┴──┘ 图5-2 现在，我们这样来数，其中 单独的线段有：⑴、⑵、⑶这三条； 由两条独立线段合并成一条线段的有：（1，2）、（2，3）这两条； 由三条独立线段合并成一条线段的有：（1，2，3）这一条。 由3＋2＋1 =6（条），我们数得图中有6条线段，他趣的是，这个得数6正是我们所编号码1、2、3这三个连续数的和。这是不是巧合呢？我们再来看⑵和⑶的结果。 ⑵ 我们仿照⑴的作法将⑵图中的独立线段编上号码，如图5-3： 1 2 3 4 5 6 └─┴─┴─┴─┴─┴─┘ 图5-3 单独的线段有：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹一共6条； 两条合并成一条有：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）一共5条； 三条并成一条的有：（1，2，3）、（2，3，4）、（3，4，5）、（4，5，6）一共有4条； 四条并成一条的有：（1，2，3，4）、（2，3，4，5）、（3，4，5，6）一共有3条； 五条并成一条的有：（1，2，3，4，5）、（2，3，4，5，6）一共有2条； 六条并成一条的有：（1，2，3，4，5、6）只1条。 总条数也正好是编号的六和连续数的和，即1＋2＋3＋4＋5＋6 21（条）。 说明：从上例的分析解答过程，我们可得数线段的方法，通过这种方法，我们得到一个重要的规律，这就是：单条线上线段的总条数，都等于从1开始的几个连续数的和（有几条独立线段就有几个连续数）。这样，我们就将问题由数数转化成计算，它的优点是：不重复，不漏算。 【例2】如图所示，图中有多少个小于的角 解析：图中所有的角小于，根据公式解答，即如果图中有条射线，则组成角的个数就是． 解： （个 答：图中有6个小于的角． 【点评】本题考查了角的计数问题，实质是握手问题，可以直接根据计算公式解答，即．这种类型的题还可以推广到线段的计数问题． 【课堂精炼】 1. 数出下图中有多少条线段？ [来源:学科网] 解析：方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。 方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。 2. 1个角 3个角 6个角 10个角 那么从一个顶点引出的条射线能组成多少个角？ 解析：观察题干可知，角的总个数与这点引发射线组成的子角的个数有关：当从一点引发条射线时，子角的个数就是个，则一共有个角，据此即可解答． 解：根据题干分析可得：从一个顶点引出的条射线能组成个子角，所以组成的角的总个数为： （个， 答：从一个顶点引出的条射线能组成个角． 【点评】考查了数角的个数，要有总结规律的能力或公式应用的能力． 【例3】数出右图中共有多少个三角形？ 解析： 方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有：△PAB、△PAC、△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：△PBC、△PB