第7讲有趣的数阵图（讲义）-2023-2024学年四年级上册数学人教版

第7讲 有趣的数阵图 数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。 常见的数阵图有以下三种： 1．有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图．填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解。 2．有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为"封闭型数阵图"．填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定项点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。 3．有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做"复合型数阵图".我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和，与关键数字。 数阵图的解题关键是找"重复数"。 【模块一：知识点拨】 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）; 第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试，这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用。 解答下列问题时，常用到以下知识点： 1. 等差数列的求和公式：总和=（首项+末项）X 项数÷2 2. 计算中的奇偶问题： 奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数 3. 10以内的数字有如下关系： （1）1+9=2+8=3+7=4+6 （2）1+8=2+7=3+6=4+5 （3）2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解．从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。 【模块二：精讲精练】 【例1】由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________． 解析：这9个数的和：由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍。所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数。那么，这个数是：120+111-198=33 【答案】33 【例2】如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和 解析：为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2）， 则有a+4+9=a+b+c（1） b+8+9=a+b+c（2） 　　 c+17+9=a+b+c（3） 　　 （1）+（2）+（3）：（a+b+c）+56=3（a+b+c），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11， c=28-（17+9）=2解：见图. 答案： 【课堂精炼】 1. 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？ 解析：为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示： 设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.， 解：得到一个基本解为：（见图） 答案： 2. 在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。如果左下图中已有一个数1，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。 解析：答案不唯一。要求四个灰色圆圈中所填的数除以3的余数相同，另外四个圆圈中所填的数除以3的余数也相同。 注：题中左、右两图是两个不同的图，左图要求各数互不相同(见答案)， 右图中各数是根据左图改的，只要求是自然数，可以相同。 答案： 【例3】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数