1.4.3 空间向量的综合应用 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1．4.3　空间向量的综合应用 灵活利用空间向量解决空间中的点、线、面的位置关系及角的问题． 活动一 空间向量在立体几何中的应用 例1　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证：PA∥平面EDB； (2) 求证：PB⊥平面EFD； (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 直线、平面的平行和垂直的判定及空间中的角的问题，都可以利用空间向量来解决．对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法(综合法、向量法、坐标法). 　如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝，BC＝1，D，E分别是边AB，AC的中点，现将△ABC沿DE折成直二面角ADEB，如图2，连接各点． (1) 求证：平面ADC⊥平面ABE； (2) 求直线AD与平面ABE所成角的正切值． 图1 图2 　　 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，D为AB的中点． (1) 求证：BC1∥平面DCA1； (2) 求平面DCA1与平面AA1C1C所成的锐二面角的余弦值． 活动二 空间向量在物理中的应用 例2　如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同，求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N). 由于物理中的力也是向量，所以物理中关于矢量(向量)的问题都可以转化为数学中的向量问题解决． 1. (2024南阳期末)已知过点P(x0，y0，z0)且法向量为n＝(A，B，C)的平面α的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.若平面α的方程为x＋y－z－3＝0，直线l是平面x＋2y－1＝0与 x＋z＋3＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 2. 在正三棱锥PABC中，PA＝PB＝PC，M为棱PA上的动点，设BM与AC所成的角为α，BM与底面ABC所成的角为β，二面角M-AC-B所成的角为γ，则下列结论中正确的是(　　) A. 2cos α>cos β B. 2cos α<cos β C. 2cos γ>cos β D. 2cos γ<cos β 3. (多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，CD＝2，Q是PD的中点，则下列结论中正确的是(　　) A. CQ⊥平面PAD B. 直线PC与平面AQC所成角的余弦值为 C. 点Q到平面ABCD的距离为 D. 三棱锥BACQ的体积为6 4. 设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为锐角时，λ的取值范围是________． 5. 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，AB＝AA1＝2，E，F分别是侧棱AA1，CC1的中点． (1) 求证：四边形EBFD1为菱形； (2) 求点C到平面BDF的距离． 【参考答案与解析】 1．4.3　空间向量的综合应用 【活动方案】 例1　以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC＝1. (1) 连接AC，交BD于点G，连接EG. 由题意，得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E. 因为底面ABCD是正方形， 所以点G是它的中心， 故点G的坐标为， 所以＝(1，0，－1)，＝， 所以＝2，即PA∥EG. 因为EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. (2) 由题意，得B(1，1，0)，所以＝(1，1，－1). 因为＝， 所以·＝0＋－＝0， 所以PB⊥DE. 由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，EF⊂平面EFD，DE⊂平面EFD， 所以PB⊥平面EFD. (3) 已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD或其补角是平面CPB与平面PBD的夹角． 设点F的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z－1). 设＝k， 所以(x，y，z－1)＝k(1，1，－1)＝(k，k，－k)， 即x＝k，y＝k，z＝1－k. 因为·＝0，所以(1，1，－1)·(k，k，1－k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0， 解得k＝，所以点F的坐标为. 又点E的坐标为， 所以＝(－，，－)， 所以cos ∠EFD＝ ＝＝， 所以∠EFD＝60°， 即平面CPB与平面PBD的夹角的大小为60°. 跟踪训练1　(1) 建立如图所示