1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(2) 1. 理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成的角． 2. 理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成的角． 3. 理解二面角与两个平面法向量的夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小． 活动一 利用向量方法求两异面直线所成的角 思考1►►► 在空间向量运算的坐标表示这一节中，已经涉及借助空间向量的坐标解决两条异面直线所成角的余弦值问题，能否总结回顾一下它的原理？ 例1　如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值． 1. 若异面直线l1，l2所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则有cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝.它的原理是借助向量的夹角解决异面直线所成的角． 2. 求两条异面直线所成角的两个关注点： (1) 余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角； (2) 范围：异面直线所成角的范围是，故两条直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，求直线EF和BC1所成角的大小． 利用空间向量求两条异面直线所成角的步骤： (1) 建立适当的空间直角坐标系； (2) 求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3) 利用向量的夹角公式求出两条直线方向向量的夹角； (4) 结合异面直线所成角的范围得到两条异面直线所成的角． 活动二　利用向量方法求直线与平面所成角及平面与平面所成角的大小　 思考2►►► 我们已经知道利用向量可以解决异面直线所成角的问题，能否用向量方法求直线与平面所成的角？ 思考3►►► 除了异面直线所成的角和直线与平面所成的角以外，空间中还有什么角？是否也能用向量方法去解决？ 例2　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值． 利用向量方法求平面与平面所成角的大小时，多采用法向量法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小．最后结合平面与平面所成角的范围得到平面与平面所成角的大小．但求解二面角的大小时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐角还是钝角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来． 　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1-A1C-C1的大小． 空间中角的问题都可以用向量的夹角去解决，先将图形问题化为向量问题，再进行向量计算，最后回到图形问题，从而问题得以解决． 1. 若平面α的一个法向量为n1＝(1，0，1)，平面β的一个法向量是n2＝(－3，1，3)，则平面α与β所成角的大小为(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，CC1＝3，∠ACB＝90°， 则BC1与A1C所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 3. (多选)(2024惠州统考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论中正确的是(　　) A. 直线BC1与直线AD1所成角的大小为90° B. B1D⊥平面ACD1 C. 点B1到平面ACD1的距离为 D. 直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为 4. 已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为________． 5. (2024深圳统考)如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥CD，AD∥BC，AD⊥AB，SB＝SD，AB＝AD. (1) 求证：SA⊥平面ABCD； (2) 已知SA＝AB＝AD＝1，BC＝2，＝λ(0<λ<1)，若平面BDN与平面SDC夹角的余弦值为，求实数λ的值． 【参考答案与解析】 1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(2) 【活动方案】 思考1：先求出两条异面直线的方向向量，再利用空间向量的数量积公式，求出两个向量夹角的余弦值，再回到异面直线所成的角的问题． 例1　以{，，}作为基底， 则＝－＝－， ＝(＋). 设向量与的夹角为θ， 则直线AM和CN夹角的余弦值等于|cosθ|. ·＝(＋)·＝||2－·＋·－·＝－＋－＝. 又△ABC和△ACD均为等边三角形， 所以||＝||＝， 所以cos θ＝＝＝， 所以直线AM