1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1) 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(1) 1. 能用向量语言表示点到直线、点到平面的距离和互相平行的直线、互相平行的平面之间的距离． 2. 能用向量方法解决点到直线、点到平面的距离和互相平行的直线、互相平行的平面之间的距离问题． 活动一 情境引入 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处，修建一个蔬菜存储仓库．如何在公路上选择一个点，修一条公路到达点A，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？ 思考1►►► 空间中包括哪些距离？求解空间距离常用的方法有哪些？ 思考2►►► 能否用所学的空间向量来解决这些距离呢？ 活动二　点到直线的距离、两条平行直线之间的距离的向量表示　 1. 点到直线的距离 思考3►►► 已知直线l的单位方向向量为μ，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 2. 两条平行直线之间的距离 思考4►►► 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 例1　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1) 不必找点在直线上的垂足以及垂线段； (2) 在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点； (3) 直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确． 　例1中的条件不变，若M，N分别是A1B1，AC的中点，试求点C1到直线MN的距离． 活动三 点到平面的距离、两个平行平面之间的距离的向量表示 1. 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是 　在直线l上的投影向量 　的长度，即PQ＝. 1. 实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是 　在直线l上的投影向量的长度． 2. 如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． 2. 两个平行平面之间的距离 如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 例2　如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点．求点B到平面CMN的距离． 求点到平面的距离的主要方法： (1) 作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； (2) 在三棱锥中用等体积法求解； (3) 向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段). 　如图，已知在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点． (1) 求证：B1C∥平面A1BD； (2) 求直线B1C到平面A1BD的距离． 活动四　灵活应用向量法求空间距离　 例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1) 求点B到直线AC1的距离； (2) 求直线FC到平面AEC1的距离． 　已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC到平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系． 1. 已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A. B. 1 C. D. 2 2. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　) A. B. C. D. (第2题)　 (第3题)　 (第4题) 3. (多选)(2023沧州阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，则下列结论中正确的是(　　) A. ＝－ B. 直线AE到平面CDD1C1的距离为2 C. 点B到直线AC1的距离为 D. 平面AEC1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面的面积为2 4. (2023天水武山县第一高级中学二模)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为________． 5. (2023连云港海州高级中学阶段调研)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，四边形ACEF为正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF. (1) 求证：AB⊥CF； (2) 求直线AC到平面BEF的距离