10.3复数的三角形式及其运算第1课时课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

*10.3　复数的三角形式及其运算 第1课时　复数的三角形式 数学 目标导向 数学 数学 自主预习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 学习目标 核心素养 了解复数的三角形式 数学抽象 了解复数的代数表示与三角表示之间的关系和相互转化 数学抽象 逻辑推理 新知初探 1．复数的三角形式 (1)定义：r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．即z＝r(cos θ＋isin θ)，其中|z|＝r，θ为复数z的辐角． (2)非零复数z辐角θ的多值性：以x轴的非负半轴为始边，向量 eq \o(OZ,\s\up6(→))所在的射线(射线OZ)为______的角θ叫复数z＝a＋bi的______． 因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z). 2．辐角的主值 (1)定义及表示：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，即0≤arg z<2π. (2)唯一性：复数z的辐角的主值是确定唯一的． 特别注意：z＝0时，其辐角是任意的． 名师点拨 (1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． (2)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． (3)复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成主值． 答案 (2)终边　辐角 初试身手 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的辐角是唯一的．(　　) (2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．(　　) (3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．(　　) (4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．复数z＝1＋i的三角形式为z＝________． 解析：r＝ eq \r(2)，cos θ＝ eq \f(1,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)， 又因为1＋i对应的点位于第一象限， 所以arg(1＋i)＝ eq \f(π,4). 所以1＋i＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,4)＋isin \f(π,4))). 答案： eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,4)＋isin \f(π,4))) 3．复数6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,2)＋isin \f(π,2)))的代数形式为________． 解析：6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,2)＋isin \f(π,2)))＝6cos eq \f(π,2)＋6isin eq \f(π,2) ＝6i. 答案：6i 4．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式： (1)z1＝－sin θ＋icos θ； (2)z2＝－sin θ－icos θ； (3)z3＝cos 60°＋isin 30°. 解：(1)不是三角形式，复平面上点Z1(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“ eq \f(π,2)＋θ”将θ变换到第二象限． 所以z1＝－sin θ＋icos θ ＝ cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)). (2)不是三角形式，同理(1)， 可得z2＝－sin θ－icos θ ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)). (3)不是三角形式， z3＝cos 60°＋isin 30°＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)i ＝ eq \f(1,2)(1＋i)＝ eq \f(1,2)× eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,4)＋isin \f(π,4))) ＝ eq \f(\r(2),2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,4)＋isin \f(π,4))). 类型1　代数形式化成三角形式 【例1】　将下列复数表示成三角形式： (1)