第四章一次函数 单元复习讲义2023-2024学年北师大版八年级数学上册

第四章 一次函数 一、一次函数定义 一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 要点提醒：一次函数一般形式 y=kx+b成立的条件： ①k不为零；②x指数为1 ；③ b取任意实数 二、一次函数图象及其性质 大致图像 经过象限 y随x的变化规律 k>0 b＞0 y随x的增大 而 ， y随x的减小 而 ， b＝0 b＜0 k<0 b＞0 y随x的增大 而 ， y随x的减小 而 ， b＝0 b＜0 （1）一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（－，0）两点的一条直线，我们称为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。 （2）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限； |k|越大，坡越陡，|k|越小，坡越缓， b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限。 （3）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小。 （4）基本概念 k：斜率 b：截距（也叫做y截距，纵截距） 两个定点：与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（，0） （5）两条直线的图像关系： 总结： ①k>0且b>0 直线经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大。 ②k>0且b<0 直线经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大。 ③k<0且b>0 直线经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小。 ④k<0且b<0直线经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小 三、函数图像的平移： 遵循“上加下减，左加右减”的原则： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位； 当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位。 四、一次函数的对称 若两函数关于x轴对称，则y=kx+b变成y=-kx-b，交点为（-b/k，0）； 若两函数关于y轴对称，则y=kx+b变成y=-kx+b，交点为(0，b)； 若两函数关于x=n对称，则y=kx+b变成y=-kx+2nk+b，交点为(n，kn+b)； 若两函数关于y=n对称，则y=kx+b变成y=-kx+(2n-b)，交点为[(n-b)/k，n]； 若两函数关于原点对称，则y=kx+b变成y=kx-b，无交点。 五、特殊直线方程 （1）一、三象限角平分线：y=x （2）二、四象限角平分线：y=-x （3）x轴：y=0 （4）y轴：x=0 （5）平行于x轴的直线方程：y=a；a≠0. （6）平行于y轴的直线方程：x=a；a≠0. 六、一次函数的应用 （1）一次函数图象的基本应用 任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值。 当需要利用函数和函数图象比较数的大小，主要有三种方法： ①直接把x值代入函数关系式，求出相应的y值，比较数的大小； ②在函数图象上描出各点，再根据各点的位置情况，比较数的大小； ③利用函数的增减性，比较数的大小。 七、函数图像的位置决定两个函数的大小关系： （1）图像在图像的上方 （2）图像在图像的下方 （3） 特别说明：图像在x轴上方；图像在x轴下方 涉及一次函数的图像的相关题目，需要充分运用数形结合的思想，对其单调性、经过的象限，交点等知识点进行考察，这类题目的难易程度一般，基本在选择题和填空题出现。 （2）待定系数法求函数解析式 确定函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； ②将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； ③解方程得出未知系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。 八、解决一次函数应用问题的步骤： ①分析问题： 借助图、表等手段分析题目中的数量关系，从而确定函数解析式； 根据函数图像获取信息，分析数量关系。 ②确定模型：根据获取到的信息确定一次函数模型。 ③解决问题：根据题目中的数量关系或者数学模型，将具体数字代入，从而解决问题。 例题与自我测验 【例题1】一次函数y＝2x－1