第5章 第3课时 机械能守恒定律（Word教参）-【优化指导】2025年高考物理一轮复习高中总复习·第1轮（人教多选版）

第3课时　机械能守恒定律 [对应学生用书P103] 一、机械能 1．重力做功与重力势能 (1)重力做功的特点：重力做功与运动的路径无关，只与初、末位置的高度差有关。重力做功不引起物体机械能的变化。 (2)重力做功与重力势能变化的关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。 2．弹性势能 (1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。 (2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大，即W＝－ΔEp。 二、机械能守恒定律 1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 2．表达式 [链接1] 人教必修第二册P93T1： 1．在下面列举的各个实例中(除A外都不计空气阻力)，哪些过程中机械能是守恒的？说明理由。 A．跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落 …… (2021·浙江1月选考)如图所示，同学们坐在相同的轮胎上，从倾角相同的平直雪道先后由同一高度静止滑下，各轮胎与雪道间的动摩擦因数均相同，不计空气阻力。雪道上的同学们(　　) A．沿雪道做匀速直线运动 B．下滑过程中机械能均守恒 C．前后间的距离随时间不断增大 D．所受重力沿雪道向下的分力相同 C　解析：同学们坐在轮胎上从静止开始沿雪道下滑，做加速运动，受力分析如图。根据牛顿第二定律可知加速度a＝＝g sin θ－μg cos θ，又因为μ相同，所以同学们做匀加速直线运动，A错误；下滑过程中摩擦力做负功，雪道上的同学们机械能减小，B错误；设前一个同学下滑时间t0后，另一个同学开始下滑，则Δx＝a(t＋t0)2－at2＝att0＋at02，可知同学们前后距离随时间不断增大，C正确；各同学质量可能不同，所以重力沿雪道向下的分力mg sin θ也可能不相同，D错误。 [链接2] 人教必修第二册P93T3： 3．质量为0.5 kg的石块从10 m高处以30°角斜向上方抛出(图8.4­7)，初速度v0的大小为5 m/s。不计空气阻力，g取10 m/s2。 (1)石块落地时的速度是多大？ …… (2023·上海卷)一个物块爆炸分裂为速率相同、质量不同的三个物块，对三者落地速率大小判断正确的是(　　) A．质量大的落地速率大　　 B．质量小的落地速率大 C．三者落地速率都相同 D．无法判断 C　解析：爆炸后的三个物块均从同一高度落地，由机械能守恒定律得mgh＝mv2－mv02，整理得v2＝v02＋2gh，故初始速率相同的三个物块下落高度相同，落地的速率也相同，C正确。 [对应学生用书P103] 考点一　机械能守恒的判断 1．机械能守恒的判断方法 做功法 若研究对象只有重力(或弹簧的弹力)做功，则机械能守恒 能量 转化法 若系统中物体只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则机械能守恒 2.误区警示 (1)系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中单个物体的机械能通常不守恒； (2)机械能守恒的条件既不是合外力做的功等于零，也不是合外力等于零。 1．(多选)(2024·辽宁大连测试)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一个固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一个小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　) A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功 B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒 C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒 D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒 BC　解析：小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确。 2．(2024·河南郑州模拟)如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)(　　) A．在任一时刻，两球动能相等 B．在任一时刻，两球加速度相等 C．在任一时刻，两球和弹簧组成的系统动能与重力势能之和保持不变 D．在任一时刻，两球和弹簧组成的系统机械能是不变的 D　解析：细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P、Q两球受力分析可知aP＞aQ，在任一时刻，两球的动能不一定相等，A、B错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能与重力势能之和发生变化，C错误；Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，D正确。 考点二　单个物体的机械能守恒 [典例1] 如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一个小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。 (1)求小球在B、A两点的动能之比； (2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。 答案：(1)5∶1　(2)能 解析：(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg 设小球在B点的动能为EkB，同理有 EkB＝mg(R＋) 联立解得EkB∶EkA＝5∶1。 (2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0 设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心力公式有FN＋mg＝m 因此应满足mg≤ 由机械能守恒定律有mg＝mvC2 即mg＝ 因此小球恰好可以沿轨道运动到C点。 3．(2021·河北卷)一个半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻质细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系着一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　) A． B． C． D．2 A　解析：当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球下落的高度h＝R＋πR－＝R＋，根据机械能守恒定律有mgh＝mv2，解得v＝，A正确。 4．(多选)(2024·河北唐山测试)如图所示，半径为R的光滑圆弧AO与半径为2R的光滑圆弧OB相切于O点。可视为质点的物体从上面圆弧的某点C由静止下滑(C点未标出)，物体恰能从O点平抛出去，则(　　) A．∠CO1O＝60° B．∠CO1O＝90° C．落地点与O2的距离为2R D．落地点与O2的距离为2R BC　解析：要使物体恰从O点平抛出去，在O点有mg＝m，解得物体从O点平抛出去的速度v＝。设∠CO1O＝θ，物体从A→O由机械能守恒定律有mgR(1－cos θ)＝mv2，解得θ＝∠CO1O＝90°，A错误，B正确；由平抛运动规律有x＝v-t，2R＝gt2，解得落地点与O2的距离为2R，C正确，D错误。 考点三　多物体(或系统)的机械能守恒 1．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 2．列机械能守恒的表达式时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 考向一　绳(或杆)连接系统的机械能守恒 1.角速度相等的情境 杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体的机械能不守恒。 2．关联速度情境 两个物体速度关联的实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。 [典例2] (2020·江苏卷)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)重物落地后，小球线速度的大小v； (2)重物落地后，一个小球转到水平位置A时受到杆的作用力的大小F； (3)重物下落的高度h。 答案：(1)2ωR　(2) (3)(ωR)2 解析：(1)线速度v＝ωr 得v＝2ωR。 (2)向心力F向＝2mω2R 设F与水平方向的夹角为α，则F cos α＝F向，F sin α＝mg 解得F＝。 (3)落地时，重物的速度v′＝ωR，由机械能守恒得 Mv′2＋4×mv2＝Mgh 解得h＝(ωR)2。 弹簧连接系统的机械能守恒 1.弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小； 2．含弹簧的系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间可以相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体或弹簧的机械能都不守恒； 3．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度时，弹性势能最大。 [典例3] (2024·天津和平区测试)如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求： (1)斜面的倾角α； (2)A球获得的最大速度vm的大小。 答案：(1)30°　(2)2g 解析：(1)当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零。 对A、B、C和弹簧组成的系统，由牛顿第二定律得 4mg sin α－2mg＝0 则sin α＝，α＝30°。 (2)初始时系统静止且细线无拉力，弹簧处于压缩状态，设弹簧压缩量为Δx，对B由平衡条件得kΔx＝mg 因α＝30°，则C球恰好离开地面时，弹簧伸长量也为Δx，故弹簧弹性势能变化量为零， A、B、C三个小球和弹簧组成的系统机械能守恒，有 4mg·2Δx·sin α－mg·2Δx＝(5m)vm2 解得vm＝2g。 5．(2022·湖北卷)如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，P通过一根 水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q恰好能保持静止。弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，P在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为(　　) A．μmgk B． C． D． C　解析：Q恰好能保持静止时，设弹簧的伸长量为x，满足kx＝2μmg，若剪断轻绳后，物块P与弹簧组成的系统机械能守恒，则弹簧的最大压缩量也为x，因此P相对于其初始位置的最大位移大小为s＝2x＝，C正确。 6．(2024·贵州高考适应性测试)如图所示，一根轻质弹簧置于固定光滑斜面上，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A点。一个物块由斜面A点上方某位置由静止释放，将弹簧压缩至最低点B(弹簧在弹性限度内)，则物块由A点运动至B点的过程中，弹簧弹性势能的(　　) A．增加量等于物块动能的减少量 B．增加量等于物块重力势能的减少量 C．增加量等于物块机械能的减少量 D．最大值等于物块动能的最大值 C　解析：设物块在A点时的动能为Ek，斜面的倾角为θ，物块由A点运动至B点的过程中，对物块由能量守恒定律有Ek＋mgLABsin θ＝Ep，可知物块由A点运动至B点的过程中，物块的机械能转化成了弹簧的弹性势能，因此可知，弹簧弹性势能增加量大于物块动能的减少量，同样大于物块重力势能的减少量，而等于物块机械能的减少量，A、B错误，C正确；显然，物块由A点运动至B点的过程中，弹簧弹性势能最大时即弹簧被压缩至最短时，而物块动能最大时弹簧的弹力等于物块的重力沿斜面向下的分力，即此时弹簧已被压缩，具有了一定的弹性势能，而此后物块还要继续向下运动，直至速度减为零，弹簧被压缩至最短，因此弹簧弹性势能的最大值大于物块动能的最大值，而等于物块机械能的减少量，D错误。 [对应学生用书P106] 1．(2023·全国甲卷)一名同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中(　　) A．机械能一直增加 B．加速度保持不变 C．速度大小保持不变 D．被推出后瞬间动能最大 B　解析：铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A错误；铅球的加速度恒为重力加速度，保持不变，B正确；铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度变大，则动能越来越大，C、D错误。 2．(2022·全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于(　　) A．它滑过的弧长 B．它下降的高度 C．它到P点的距离 D．它与P点的连线扫过的面积 C　解析：设大圆环半径为r，小环下落过程机械能守恒，有mgr(1－cos φ)＝mv2，解得v＝＝2sin ，小环下滑至某位置如图所示，根据弧度数的定义，滑过的弧长s＝φr，A错误；小环下降的高度h＝r(1－cos φ)，B错误；小环到P点的距离x＝2r sin ，C正确；小环与P点连线扫过的面积S＝φr2－r2sin φ，D错误。 3．(2023·辽宁卷)某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v1＝80 m/s时离开水面，该过程滑行距离L＝1 600 m、汲水质量m＝1.0×104 kg。离开水面后，飞机攀升高度h＝100 m时速度达到v2＝100 m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。重力加速度g取10 m/s2。求： (1)飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t； (2)整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE。 答案：(1)2 m/s2　40 s　(2)2.8×107 J 解析：(1)飞机在水面滑行阶段，由匀变速直线运动规律有2aL＝v12 解得a＝2 m/s2 又v1＝at 解得t＝40 s。 (2)整个攀升阶段，对飞机汲取的水分析，机械能变化量为ΔE＝mv22＋mgh－mv12＝2.8×107 J。 学科网（北京）股份有限公司 $$