第4章 第4课时 万有引力与宇宙航行（Word教参）-【优化指导】2025年高考物理一轮复习高中总复习·第1轮（人教多选版）

第4课时　万有引力与宇宙航行 [对应学生用书P79] 一、开普勒定律 1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 不同的行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不一定相等。同一行星在近日点的速度比它在远日点的速度大。 3．开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，表达式：＝k。 k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。 二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2．表达式：F＝G，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 3．适用条件：质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球球心间的距离。 三、宇宙速度 1．第一宇宙速度：v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也叫环绕速度。 (1)计算公式1：由G＝m得v＝； (2)计算公式2：由mg＝m得v＝。 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大运行速度，对应它的卫星的运行周期最短。 2．第二宇宙速度：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，也叫脱离速度。 3．第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，也叫逃逸速度。 四、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观：时间与空间都是独立于物体及其运动而存在的。 2．相对论时空观：物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。 [链接1] 人教必修第一册P112插图： 　 图4.6­7　航天员在天宫一号目标 飞行器上展示水球的实验 (2022·全国乙卷)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的天宫二号空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的天宫二号中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们(　　) A．所受地球引力的大小近似为零 B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零 C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等 D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动时所受引力的大小 C　解析：航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力，空间站内的物体处于完全失重状态，飞船对其作用力等于零，A、B错误，C正确；根据万有引力公式F万＝G，可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大小，D错误。 [链接2] 人教必修第二册P63插图： 图7.4­6　北斗卫星导航系统主题邮票 (2021·江苏卷)我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从东方红一号到北斗不断创造奇迹。北斗第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星(　　) A．运动速度大于第一宇宙速度 B．运动速度小于第一宇宙速度 C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星 D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星 B　解析：第一宇宙速度是卫星在地球表面附近绕地球做圆周运动的速度，是环绕地球做圆周运动的所有卫星的最大环绕速度，该卫星的运转半径远大于地球的半径，可知运行线速度小于第一宇宙速度，A错误，B正确；根据G＝mr可知r＝，因为该卫星的运动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的同步卫星的周期，可知该卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星的轨道半径，C、D错误。 [链接3] 人教必修第二册P64T1： 1．有人根据公式v＝ωr说：人造地球卫星的轨道半径增大2倍，卫星的速度也增大2倍。 …… (2020·江苏卷)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有(　　) A．甲的速度是乙的倍　 B．甲的向心加速度是乙的2倍 C．甲的向心力是乙的4倍 D．甲的周期是乙的2倍 D　解析：由＝，可得v＝，则v甲＝r乙，A错误；由ma＝，可得a＝，则a甲＝a乙，B错误；由F＝，m甲＝m乙，r甲＝2r乙，得F甲＝F乙，C错误；由开普勒第三定律＝k可知，T甲＝2T乙，D正确。 [对应学生用书P80] 考点一　开普勒定律与万有引力定律 1．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。 2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、人造卫星绕地球的运动。 1．(2024·广西高考适应性测试)我国酒泉卫星发射中心在2022年将夸父一号卫星送入半径为r1的晨昏轨道；2023年又将星池一号A星送入半径为r2的晨昏轨道(r1>r2)，夸父一号与星池一号A星在绕地球运行中，周期之比为(　　) A．1∶1 B．r1∶r2 C．∶ D．∶ C　解析：由开普勒第三定律＝得，夸父一号与星池一号A星在绕地球运行中，周期之比为＝，C正确。 2．(2024·吉林、黑龙江高考适应性测试)2023年8月，我国首次在空间站中实现了微小卫星的低成本入轨。在近地圆轨道飞行的中国空间站中，航天员操作机械臂释放微小卫星。若微小卫星进入比空间站低的圆轨道运动，则入轨后微小卫星的(　　) A．角速度比空间站的大 B．加速度比空间站的小 C．速率比空间站的小 D．周期比空间站的大 B　解析：悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝G，可得＝G∶G＝，B正确。 3．(多选)(2024·江苏扬州测试)如图所示，两个质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有(　　) A．TA＞TB B．EkA＞EkB C．SA＝SB D．＝ AD　解析：根据开普勒第三定律＝k知，A、D正确；由＝和Ek＝mv2可得Ek＝，因RA＞RB，mA＝mB，则EkA＜EkB，B错误；根据开普勒第二定律知，同一卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，卫星A、B轨道不同，SA不等于SB，C错误。 考点二　解答天体运行问题的两种思路 思路一：万有引力产生重力 1．不考虑天体自转 (1)在天体表面附近的重力加速度g＝。 (2)在天体上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′＝，所以＝。 2．考虑天体自转 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上： G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 思路二：万有引力提供天体做圆周运动的向心力 1．基本公式：G＝man＝m＝mω2r＝mr＝mωv。 2．黄金代换式：GM＝gR2。 解决 “星球解体”“宇宙速度”问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球解体，其临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R。 [典例1] (2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是(　　) A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 B　解析：恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力和绕恒星自转轴转动的向心力，不同位置向心力可能不同，故不同位置重力的大小和方向可能不同，故重力加速度可能不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力。恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F万＝可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由第一宇宙速度的物理意义可得＝m，整理得v＝，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式M＝R3ρ得R＝，已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，则v′＝v＝，联立整理得v′2＝2v2＝＝4G，由于中子星的质量和密度均大于白矮星，结合上式表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。 计算天体的质量和密度 1.重力加速度法：不考虑天体的自转，利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法：利用卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 (1)由G＝mr得中心天体的质量M＝。 (2)由ρ＝得中心天体的密度ρ＝＝。 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r近似等于天体半径R，则ρ＝。 [典例2] (2024·安徽池州测试)宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求： (1)月球表面的自由落体加速度大小g月； (2)月球的质量M； (3)月球的密度ρ。 答案：(1)　(2)　(3) 解析：(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2 月球表面的自由落体加速度大小g月＝。 (2)不考虑月球自转的影响，有G＝mg月，得月球的质量M＝。 (3)月球的密度ρ＝＝＝。 4．(多选)(2022·海南卷)火星与地球的质量之比为a，半径之比为b，则它们的第一宇宙速度之比和表面的重力加速度之比分别是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ BC　解析：由G＝mg可得g＝，知＝，由G＝m，结合gR2＝GM，可得v＝，知＝＝，B、C正确。 5．(多选)(2024·浙江衢州模拟)嫦娥五号探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是(　　) A．月球平均密度为 B．月球平均密度为 C．月球表面重力加速度大小为 D．月球表面重力加速度大小为 BD　解析：由万有引力提供向心力有G＝m，得M＝，由于月球体积V＝πR3，所以月球平均密度为ρ＝＝，A错误，B正确；在月球表面有G＝mg，得月球表面重力加速度g＝＝，C错误，D正确。 考点三　天体(或卫星)的运行规律及特点 1．天体运行参量与轨道半径的关系 2．近地卫星、同步卫星与赤道上物体 (1)近地卫星是靠近地球表面附近运行的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行周期T＝85 min，运行速度等于第一宇宙速度即v＝7.9 km/s。 (2)赤道上空同步轨道卫星的六个“一定” (3)地球赤道上物体随地球一起转动，其角速度就是地球的自转角速度，其向心力由万有引力的分力提供；它不是卫星，≠m。 [典例3] (2022·湖北卷)2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是(　　) A．组合体中的货物处于超重状态 B．组合体的速度大小略大于第一宇宙速度 C．组合体的角速度大小比地球同步卫星的大 D．组合体的加速度大小比地球同步卫星的小 C　解析：组合体中的货物处于失重状态，A错误；由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，而第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；已知同步卫星的周期为24 h，则根据角速度和周期的关系有ω＝，由于T同>T组合体，则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大，C正确；由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，有G＝mr，整理有T＝2π，由于T同>T组合体，则r同>r组合体，且同步卫星和组合体做圆周运动时有ma＝G，则有a同<a组合体，D错误。 6．(2023·天津卷)运行周期为24 h的北斗卫星比运行周期为12 h的卫星的(　　) A．加速度大 B．角速度大 C．周期小 D．线速度小 D　解析：根据万有引力提供向心力有F＝G＝m＝mrω2＝mr＝ma，可得T＝2π，v＝，ω＝，a＝，因为北斗卫星周期大，故运行轨道半径大，则线速度小，角速度小，加速度小，D正确。 7．(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　) A．k32 B．k32 C．2 D．2 D　解析：设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G＝mr，可得G＝m月r1，G＝m地r2，其中＝＝，ρ＝，联立可得＝2，D正确。 [对应学生用书P83] 1．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的天问一号探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则天问一号的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(　　) A．6×105 m B．6×106 m C．6×107 m D．6×108 m C　解析：设火星的质量为M，半径为R，自由落体的加速度为g火，则有＝mg火，设其近地卫星做圆周运动的周期为T，则有＝mR，设探测器所在椭圆形停泊轨道的半长轴为a，根据开普勒第三定律得＝，联立上述方程并代入数据解得a≈×107 m，可得停泊轨道与火星表面的最远距离约为2a－2.8×105 m－2×3.4×106 m＝6×107 m，C正确。 2．(2023·山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　　) A．30π B．30π C．120π D．120π C　解析：地球表面的重力加速度为g，设地球半径为R，有mg＝G，月球绕地球公转，有G＝m月r，且r＝60R，联立有T＝120π，C正确。 3．(2023·浙江6月选考)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则(　　) A．木卫一轨道半径为r B．木卫二轨道半径为r C．周期T与T0之比为n D．木星质量与地球质量之比为n3 D　解析：木卫三的轨道半径为r3＝nr，根据万有引力提供向心力，有G＝mR，可得R＝，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半径为r1＝，木卫二轨道半径为r2＝，A、B错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，C错误；根据万有引力提供向心力，分别有G＝mnr，G＝mr，可得＝n3，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$