第8章 第6节 双曲线（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第八章　解析几何 第六节　双曲线 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 差的绝对值 焦点 焦距 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 (1，＋∞) 2a 2b c2＝a2＋b2 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 × × √ √ 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 课时作业(五十七) 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 课标解读 1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 3．通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想． 1．双曲线的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之__________为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点F1，F2叫作双曲线的____，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的____． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1 (a>0，b>0) eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1 (a>0，b>0) 图形 标准方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1 (a>0，b>0) eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1 (a>0，b>0) 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) 渐近线 __________ __________ y＝± eq \f(b,a) x y＝± eq \f(a,b) x 标准方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1 (a>0，b>0) eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1 (a>0，b>0) 性质 离心率 e＝ eq \f(c,a) ，e∈____________，其中__________ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝____，线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝____；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 __________________ (c>a>0，c>b>0) c＝ eq \r(a2＋b2) 1．判断正误 (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　　) (2)方程 eq \f(x2,m) － eq \f(y2,n) ＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　　) (3)双曲线方程 eq \f(x2,m2) － eq \f(y2,n2) ＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 eq \f(x2,m2) － eq \f(y2,n2) ＝0，即 eq \f(x,m) ± eq \f(y,n) ＝0.(　　　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 eq \r(2) .(　　　) 2．(多选)已知双曲线C： eq \f(x2,9) － eq \f(y2,7) ＝1的左、右焦点分别为F1，F2.双曲线C上有一点P，若|PF1|＝7，则|PF2|＝(　　) A．1 B．6 C．7 D．13 AD　解析：因为双曲线C： eq \f(x2,9) － eq \f(y2,7) ＝1，所以a＝3，所以||PF2|－|PF1||＝2a＝6， 又因为|PF1|＝7，所以|PF2|＝13或|PF2|＝1. 3．(2023·成都模拟)已知双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为(　　) A．6 B．6 eq \r(2) C．9 eq \r(2) D．12 eq \r(2) B　解析：根据题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝1，,2c＝12，,c2＝a2＋b2，)) 解得a＝b＝3 eq \r(2) ， ∴该双曲线的虚轴长为2b＝6 eq \r(2) . 4．(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－ eq \f(y2,9) ＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1，1) B．(－1，2) C．(1，3) D．(－1，－4) D　解析：通解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,9)＝1，,x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) －\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,9)＝1，)) 两式作差，得x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(y－y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,9) ，即(x1－x2)(x1＋x2)＝ eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,9) ，化简得 eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,（x1－x2）（x1＋x2）) ＝9，即 eq \f(y1－y2,x1－x2) · eq \f(\f(y1＋y2,2),\f(x1＋x2,2)) ＝kAB· eq \f(y0,x0) ＝9，因此kAB＝9· eq \f(x0,y0) . 由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图所示．对于A选项，因为kAB＝9× eq \f(1,1) ＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9× eq \f(－1,2) ＝－ eq \f(9,2) <－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9× eq \f(1,3) ＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9× eq \f(－1,－4) ＝ eq \f(9,4) <3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意． 光速解　选项中的点均位于双曲线两支之间，故A，B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称，设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则|kAB|＝9 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x0,y0))) <3，即|y0|>3|x0|，结合选项可知选D. 5．(2023·北京卷)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为 eq \r(2) ，则C的方程为________________． 答案： eq \f(x2,2) － eq \f(y2,2) ＝1　解析：根据题意可设所求方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)， 又 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝2，,\f(c,a)＝\r(2)，,b2＝c2－a2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,c＝2，,b2＝2，)) ∴所求双曲线C的标准方程为 eq \f(x2,2) － eq \f(y2,2) ＝1. 6．(2022·全国甲卷)记双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值_________________． 答案：2(满足1<e≤ eq \r(5) 皆可)　解析：双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)，所以C的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a) x， 结合渐近线的特点，只需0< eq \f(b,a) ≤2，即 eq \f(b2,a2) ≤4， 可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(1＋\f(b2,a2)) ≤ eq \r(1＋4) ＝ eq \r(5) ，又因为e>1，所以1<e≤ eq \r(5) . 1.(2023·福建模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2－ eq \f(y2,8) ＝1 B． eq \f(x2,8) －y2＝1 C．x2－ eq \f(y2,8) ＝1(x≤－1) D．x2－ eq \f(y2,8) ＝1(x≥1) C　解析：设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6， 所以点M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8， 所以点M的轨迹方程为x2－ eq \f(y2,8) ＝1(x≤－1). 2．(2023·湖北宜城第一中学模拟)已知F1，F2分别是双曲线C： eq \f(x2,4) － eq \f(y2,21) ＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C的右支上，则(|PF1|－4)·(|PF2|－4)的最小值为(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 B　解析：因为动点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝4， 所以|PF1|＝|PF2|＋4，因为a2＝4，b2＝21，所以a＝2， c＝ eq \r(a2＋b2) ＝5， 所以|PF2|≥c－a＝5－2＝3，将|PF1|＝|PF2|＋4代入(|PF1|－4)·(|PF2|－4)得 |PF2|·(|PF2|－4)＝|PF2|2－4|PF2|＝(|PF2|－2)2－4≥－3.即(|PF1|－4)·(|PF2|－4)的最小值为－3. 3．(2024·陕西西北工业大学附属中学模拟)已知双曲线C： eq \f(x2,8) － eq \f(y2,8) ＝1的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，A(0，4)，当△MAF的周长取得最小时，△MAF的面积为(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 D　解析：如图所示，设双曲线C的右焦点为F′，连接AF′，交双曲线于M′，则a＝2 eq \r(2) ，F (－4，0)，F′(4，0)，又A(0，4)，所以|AF|＝ eq \r(42＋42) ＝4 eq \r(2) ， 由双曲线的定义知，|MF|－|MF′|＝2a＝4 eq \r(2) ，所以|MF|＝|MF′|＋4 eq \r(2) ， 所以△MAF的周长为|MA|＋|MF|＋|AF|＝|MA|＋(|MF′|＋4 eq \r(2) )＋4 eq \r(2) ≥|M′A|＋|M′F′|＋8 eq \r(2) ＝|AF′|＋8 eq \r(2) ＝12 eq \r(2) ， 即当M在M′即AF′与双曲线的交点处时，△MAF的周长最小，此时直线AF′的方程为y＝－x＋4， 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋4，,\f(x2,8)－\f(y2,8)＝1，)) 即y2－(－y＋4)2＝－8， 解得y＝1，即yM′＝1，故△MAF的面积为S△MAF＝ eq \f(1,2) |FF′|·(yA－yM′)＝ eq \f(1,2) ×8×(4－1)＝12. 1.(2023·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2 eq \r(2) ，则双曲线的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,2) ＝1 B． eq \f(x2,3) － eq \f(y2,2) ＝1 C． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,8) ＝1 D．x2－ eq \f(y2,2) ＝1 D　解析：由题意可知|PF1|＝ eq \f(4\r(3)c,3) ，|PF2|＝ eq \f(2\r(3)c,3) ，2b＝2 eq \r(2) ，由双曲线的定义可得 eq \f(4\r(3)c,3) － eq \f(2\r(3)c,3) ＝2a，即c＝ eq \r(3) a. 又b＝ eq \r(2) ，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－ eq \f(y2,2) ＝1. 2．设双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，|OP|＝|OF|，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,16) － eq \f(y2,9) ＝1 B． eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1 C． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,21) ＝1 D．x2－ eq \f(y2,24) ＝1 D　解析：设左焦点F的坐标为(－c，0)，由点F过直线4x－3y＋20＝0， 所以－4c－3×0＋20＝0，解得c＝5， 设右焦点为N，连接PF，PO，PN.如图所示， 由|OP|＝|OF|＝|ON|＝c，故△PFN为直角三角形，即∠FPN＝90°， 又因为直线斜率为 eq \f(4,3) ，设直线倾斜角为α，则tan α＝ eq \f(4,3) . 又|FN|＝2c，则|PF|＝ eq \f(6,5) c，|PN|＝ eq \f(8,5) c， 由双曲线定义，则|PN|－|PF|＝ eq \f(2,5) c＝2a， 所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24，所以双曲线C的方程为x2－ eq \f(y2,24) ＝1. 3．已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)满足 eq \f(b,a) ＝ eq \f(\r(5),2) ，且与椭圆 eq \f(x2,12) ＋ eq \f(y2,3) ＝1有公共焦点，则双曲线C的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,5) ＝1 B． eq \f(x2,8) － eq \f(y2,10) ＝1 C． eq \f(x2,5) － eq \f(y2,4) ＝1 D． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,3) ＝1 A　解析：由椭圆的标准方程为 eq \f(x2,12) ＋ eq \f(y2,3) ＝1，可得c2＝12－3＝9，即c＝3， 因为双曲线C的焦点与椭圆 eq \f(x2,12) ＋ eq \f(y2,3) ＝1的焦点相同，所以双曲线C中，半焦距c＝3， 又因为双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)满足 eq \f(b,a) ＝ eq \f(\r(5),2) ，即b＝ eq \f(\r(5),2) a， 又由a2＋b2＝c2，即a2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a)) eq \s\up12(2) ＝9，解得a2＝4，可得b2＝5， 所以双曲线C的标准方程为 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,5) ＝1. 角度1　双曲线离心率的值(或范围) 【例1】 (2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，，则C的离心率为________________． 答案： eq \f(3\r(5),5) 　解析：方法一　由题意可知，设F1(－c，0)，F2(c，0)，A(x1，y1)，B(0，y0)，所以 即 eq \f(8,3) c2－ eq \f(2,3) y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＝0，解得y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＝4c2. 因为点A( eq \f(5,3) c，－ eq \f(2,3) y0)在双曲线C上，所以 eq \f(25c2,9a2) －eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \f(4y,9b2) ＝1，又y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＝4c2，所以 eq \f(25c2,9a2) － eq \f(16c2,9b2) ＝1，即 eq \f(25（a2＋b2）,9a2) － eq \f(16（a2＋b2）,9b2) ＝1，化简得 eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(4,5) ，所以e2＝1＋ eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(9,5) ，所以e＝ eq \f(3\r(5),5) . 方法二　由前面方法一得A( eq \f(5,3) c，－ eq \f(2,3) y0)，y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＝4c2，所以|AF1|＝ eq \r(（\f(5,3)c＋c）2＋（－\f(2,3)y0）2) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \r(\f(64c2,9)＋\f(4y,9)) ＝ eq \r(\f(64c2,9)＋\f(16c2,9)) ＝ eq \f(4\r(5)c,3) ， |AF2|＝ eq \r(（\f(5,3)c－c）2＋（－\f(2,3)y0）2) ＝ eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \r(\f(4c2,9)＋\f(4y,9)) ＝ eq \r(\f(4c2,9)＋\f(16c2,9)) ＝ eq \f(2\r(5)c,3) ，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即 eq \f(4\r(5)c,3) － eq \f(2\r(5)c,3) ＝2a， 即 eq \f(\r(5),3) c＝a，所以双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(3,\r(5)) ＝ eq \f(3\r(5),5) . 方法三　如图所示，由可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝ eq \f(2,3) |F2B|.设|F2B|＝3m(m>0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝ eq \r(|AB|2－|BF1|2) ＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则 eq \f(1,2) |AB|·|F1D|＝ eq \f(1,2) |F1A|·|F1B|，即 eq \f(1,2) ×5m×|F1D|＝ eq \f(1,2) ×4m×3m，所以|F1D|＝ eq \f(12,5) m，所以|BD|＝ eq \r(|BF1|2－|F1D|2) ＝ eq \f(9,5) m，所以|F2D|＝ eq \f(6,5) m，则|F1F2|＝ eq \r(|F1D|2＋|F2D|2) ＝ eq \f(6\r(5),5) m＝2c，即c＝ eq \f(3\r(5),5) m，所以e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(3\r(5),5) . 【练1】 已知点F为双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的右焦点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A.若△OAF (点O为坐标原点)的面积为4，双曲线的离心率e∈[ eq \r(3) ， eq \r(5) ]，则a2的取值范围为(　　) A．[2，2 eq \r(2) ] B．[4，4 eq \r(2) ] C．[ eq \f(\r(2),4) ，1] D．[ eq \f(\r(2),2) ，1] B　解析：取双曲线的一条渐近线为y＝ eq \f(b,a) x，即bx－ay＝0. 则F到渐近线的距离即|FA|＝ eq \f(|bc|,\r(a2＋b2)) ＝b，|OA|＝ eq \r(|OF|2－|FA|2) ＝ eq \r(c2－b2) ＝a， ∴S△OAF＝ eq \f(1,2) ab＝4，即ab＝8. 又∵e∈[ eq \r(3) ， eq \r(5) ]， ∴e2＝ eq \f(c2,a2) ＝ eq \f(a2＋b2,a2) ＝1＋ eq \f(b2,a2) ∈[3，5]， 易得2a2≤b2≤4a2， 即2a2≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,a))) eq \s\up12(2) ≤4a2， 解得a2∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4，4\r(2))) . 角度2　双曲线的渐近线问题 【例2】 (2023·天津卷)双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为 eq \f(\r(2),4) ，则双曲线的方程为(　　) A． eq \f(x2,8) － eq \f(y2,4) ＝1 B． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,8) ＝1 C． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,2) ＝1 D． eq \f(x2,2) － eq \f(y2,4) ＝1 D　解析：通解　不妨取渐近线y＝ eq \f(b,a) x，此时直线PF2的方程为y＝－ eq \f(a,b) (x－c)，与y＝ eq \f(b,a) x联立并解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a2,c)，,y＝\f(ab,c)，)) 即P( eq \f(a2,c) ， eq \f(ab,c) ). 因为直线PF2与渐近线y＝ eq \f(b,a) x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝ eq \f(b,a) x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式得|PF2|＝ eq \f(bc,\r(a2＋b2)) ＝ eq \f(bc,c) ＝b，所以b＝2. 因为F1(－c，0)，P( eq \f(a2,c) ， eq \f(ab,c) )，且直线PF1的斜率为 eq \f(\r(2),4) ，所以 eq \f(\f(ab,c),\f(a2,c)＋c) ＝ eq \f(\r(2),4) ，化简得 eq \f(ab,a2＋c2) ＝ eq \f(\r(2),4) ，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以 eq \f(2a,2a2＋4) ＝ eq \f(\r(2),4) ，整理得a2－2 eq \r(2) a＋2＝0，即(a－ eq \r(2) )2＝0，解得a＝ eq \r(2) . 所以双曲线的方程为 eq \f(x2,2) － eq \f(y2,4) ＝1，故选D. 优解　因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除选项B，C；若双曲线方程为 eq \f(x2,8) － eq \f(y2,4) ＝1，则F1(－2 eq \r(3) ，0)，F2(2 eq \r(3) ，0)，渐近线方程为y＝± eq \f(\r(2),2) x，不妨取渐近线y＝ eq \f(\r(2),2) x，则直线PF2的方程为y＝－ eq \r(2) (x－2 eq \r(3) )，与渐近线方程y＝ eq \f(\r(2),2) x联立，得P( eq \f(4\r(3),3) ， eq \f(2\r(6),3) )，则kPF1＝ eq \f(\r(2),5) ，又直线PF1的斜率为 eq \f(\r(2),4) ，所以双曲线方程 eq \f(x2,8) － eq \f(y2,4) ＝1不符合题意，排除A，故选D. 【练2】 已知双曲线E： eq \f(x2,m＋4) － eq \f(y2,m) ＝1的离心率为 eq \f(2\r(3),3) ，则双曲线E的两条渐近线的夹角为(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(π,6) 或 eq \f(π,3) D． eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3) B　解析：当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋4>0，,m>0，)) 即m>0时， eq \r(\f(m＋4＋m,m＋4)) ＝ eq \f(2\r(3),3) ，解得m＝2，则双曲线E： eq \f(x2,6) － eq \f(y2,2) ＝1， 此时渐近线的斜率为± eq \r(\f(2,6)) ＝± eq \f(\r(3),3) ，所以渐近线的倾斜角为 eq \f(π,6) 和 eq \f(5π,6) ， 所以双曲线E的两条渐近线的夹角为2× eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,3) ； 当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋4<0，,m<0，)) 即m<－4时， eq \r(\f(－m－4－m,－m)) ＝ eq \f(2\r(3),3) ， 解得m＝－6， 则双曲线E： eq \f(y2,6) － eq \f(x2,2) ＝1， 此时渐近线的斜率为± eq \r(\f(6,2)) ＝± eq \r(3) ，所以渐近线的倾斜角为 eq \f(π,3) 和 eq \f(2π,3) ， 所以双曲线E的两条渐近线的夹角为 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))) ＝ eq \f(π,3) . 角度3　与双曲线有关的最值和范围问题 【例3】 (1)已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)与双曲线 eq \f(y2,3) －x2＝1有相同的渐近线，过双曲线C右焦点F的直线l与双曲线C相交于M，N两点，弦MN的中点为G(6，6)，点P是双曲线C右支上的动点，点A是以点F为圆心，1为半径的圆上的动点，点B是圆D：x2＋y2－6y＋5＝0上的动点，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)(2023·河南洛阳模拟)已知F是椭圆C1： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C1的下顶点，双曲线C2： eq \f(x2,m2) － eq \f(y2,n2) ＝1(m>0，n>0)与椭圆C1共焦点，若直线AF与双曲线C2的一条渐近线平行，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则 eq \f(1,e1) ＋ eq \f(2,e2) 的最小值为________________． (1)D　(2)2 eq \r(2) 　解析：(1)由双曲线 eq \f(y2,3) －x2＝1知渐近线方程为y＝± eq \r(3) x， 又双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)与双曲线 eq \f(y2,3) －x2＝1有相同的渐近线， ∴ eq \f(b,a) ＝ eq \r(3) ，∴b＝ eq \r(3) a，∴双曲线方程为3x2－y2＝3a2， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴3x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＝3a2，3x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) －y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝3a2， ∴3(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 又弦MN的中点为G(6，6)， ∴36(x1－x2)－12(y1－y2)＝0， ∴kMN＝ eq \f(y1－y2,x1－x2) ＝3，设F (c，0)， ∴ eq \f(6－0,6－c) ＝3，解得c＝4， ∴a2＋3a2＝c2＝16，解得a2＝4， ∴双曲线的方程为 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,12) ＝1， 由圆x2＋y2－6y＋5＝0的方程可化为标准方程为x2＋(y－3)2＝4， 圆心为M(0，3)，半径为2， (|PA|＋|PB|)min＝|PF|＋|PD|－1－2≥|DF|－3＝ eq \r(32＋42) －3＝2. 当且仅当D，F，P三点共线时取等号． (2)设C1的半焦距为c(c>0)，则F (c，0)，又A(0，－b)， 所以kAF＝ eq \f(b,c) ，又直线AF与C2的一条渐近线平行， 所以 eq \f(b,c) ＝ eq \f(n,m) ，所以 eq \f(b2,c2) ＝ eq \f(n2,m2) ，所以 eq \f(a2－c2,c2) ＝ eq \f(c2－m2,m2) ，所以 eq \f(a2,c2) ＝ eq \f(c2,m2) ，所以e1e2＝1， 又 eq \f(1,e1) ＋ eq \f(2,e2) ＝ eq \f(e2＋2e1,e1e2) ＝e2＋2e1≥2 eq \r(2e1e2) ＝2 eq \r(2) ， 当且仅当e2＝2e1，即e1＝ eq \f(\r(2),2) ，e2＝ eq \r(2) 时等号成立， 即 eq \f(1,e1) ＋ eq \f(2,e2) 的最小值为2 eq \r(2) . 【练3】 若点F1，F2依次为双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且|F1F2|＝6，B1(0，－b)，B2(0，b).若双曲线C上存在点P，使得B1P·B2P＝－2，则实数b的取值范围为________________． 答案：[ eq \f(\r(22),2) ，3)　解析：设双曲线上的点P(x，y)满足B1P·B2P＝－2，即x2＋y2＝b2－2， 又 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1⇒y2＝ eq \f(b2,a2) x2－b2，∴(1＋ eq \f(b2,a2) )x2＝2b2－2，即 eq \f(c2,a2) x2＝2b2－2， ∵|x|≥a⇒x2≥a2，且c2＝9，∴2b2－2≥9⇒b≥ eq \f(\r(22),2) ， 又b＜c＝3，∴实数b的取值范围是[ eq \f(\r(22),2) ，3). 【例4】 (2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2 eq \r(5) ，0)，离心率为 eq \r(5) . (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． (1)解：设双曲线C的方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距， 由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝2\r(5)，,\f(c,a)＝\r(5)，,c2＝a2＋b2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝2\r(5)，,a＝2，,b＝4.)) 所以双曲线C的方程为 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,16) ＝1. (2)证明：方法一(根与系数的关系)　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4， 则x1＝my1－4，x2＝my2－4. 联立得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my－4，,\f(x2,4)－\f(y2,16)＝1，)) 得(4m2－1)y2－32my＋48＝0. 因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0. 由根与系数的关系得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(32m,4m2－1)，,y1y2＝\f(48,4m2－1)，)) 所以y1＋y2＝ eq \f(2m,3) y1y2. 因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点， 所以A1(－2，0)，A2(2，0). 直线MA1的方程为 eq \f(y1,x1＋2) ＝ eq \f(y,x＋2) ，直线NA2的方程为 eq \f(y2,x2－2) ＝ eq \f(y,x－2) ， 所以 eq \f(\f(y1,x1＋2),\f(y2,x2－2)) ＝ eq \f(\f(y,x＋2),\f(y,x－2)) ，得 eq \f(（x2－2）y1,（x1＋2）y2) ＝ eq \f(x－2,x＋2) ， eq \f(（my2－6）y1,（my1－2）y2) ＝ eq \f(my1y2－6y1,my1y2－2y2) ＝ eq \f(x－2,x＋2) . 因为 eq \f(my1y2－6y1,my1y2－2y2) ＝ eq \f(my1y2－6（y1＋y2）＋6y2,my1y2－2y2) ＝ eq \f(my1y2－6·\f(2m,3)y1y2＋6y2,my1y2－2y2) ＝ eq \f(－3my1y2＋6y2,my1y2－2y2) ＝－3， 所以 eq \f(x－2,x＋2) ＝－3，解得x＝－1， 所以点P在定直线x＝－1上． 方法二(齐次化)　由题意得A1(－2，0)，A2(2，0). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线MN的方程为x＝my－4， 则eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(x,4) －eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(y,16) ＝1，即4x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＝16. 如图，连接MA2， ＝ eq \f(y1,x1＋2) · eq \f(y1,x1－2) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(y,x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －4) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(4x－16,x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －4) ＝4.① 由 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,16) ＝1，得4x2－y2＝16，4[(x－2)＋2]2－y2＝16， 4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0. 由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6， eq \f(1,6) [my－(x－2)]＝1. 4(x－2)2＋16(x－2)· eq \f(1,6) [my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋ eq \f(8,3) (x－2)my－ eq \f(8,3) (x－2)2－y2＝0， 两边同时除以(x－2)2，得 eq \f(4,3) ＋ eq \f(8m,3) · eq \f(y,x－2) －( eq \f(y,x－2) )2＝0， 即( eq \f(y,x－2) )2－ eq \f(8m,3) · eq \f(y,x－2) － eq \f(4,3) ＝0. 【练4】 (2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,a2－1) ＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率； (2)若tan ∠PAQ＝2 eq \r(2) ，求△PAQ的面积． 解：(1)将点A的坐标代入双曲线方程得 eq \f(4,a2) － eq \f(1,a2－1) ＝1， 化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2， 故双曲线C的方程为 eq \f(x2,2) －y2＝1. 由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立直线l与双曲线C的方程并整理得(2k2－1)x2＋4kbx＋2b2＋2＝0， 故x1＋x2＝－ eq \f(4kb,2k2－1) ，x1x2＝ eq \f(2b2＋2,2k2－1) . kAP＋kAQ＝ eq \f(y1－1,x1－2) ＋ eq \f(y2－1,x2－2) ＝ eq \f(kx1＋b－1,x1－2) ＋ eq \f(kx2＋b－1,x2－2) ＝0， 化简得2kx1x2＋(b－1－2k)(x1＋x2)－4(b－1)＝0， 故 eq \f(2k（2b2＋2）,2k2－1) ＋(b－1－2k)(－ eq \f(4kb,2k2－1) )－4(b－1)＝0， 整理得(k＋1)(b＋2k－1)＝0， 又直线l不过点A，即b＋2k－1≠0， 故k＝－1.即l的斜率为－1. (2)不妨设直线PA的倾斜角为θ(0＜θ＜ eq \f(π,2) )，由题意知∠PAQ＝π－2θ， 所以tan ∠PAQ＝－tan 2θ＝ eq \f(2tan θ,tan2θ－1) ＝2 eq \r(2) ， 解得tanθ＝ eq \r(2) 或tan θ＝－ eq \f(\r(2),2) (舍去)， 由eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y1－1,x1－2)＝\r(2)，,\f(x,2)－y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＝1，)) 得x1＝ eq \f(10－4\r(2),3) ， 所以|AP|＝ eq \r(3) |x1－2|＝ eq \f(4\r(3)（\r(2)－1）,3) ， 同理，得x2＝ eq \f(10＋4\r(2),3) ， 所以|AQ|＝ eq \r(3) |x2－2|＝ eq \f(4\r(3)（\r(2)＋1）,3) ， 因为tan ∠PAQ＝2 eq \r(2) ，所以sin ∠PAQ＝ eq \f(2\r(2),3) ， 故S△PAQ＝ eq \f(1,2) |AP||AQ|sin ∠PAQ ＝ eq \f(1,2) × eq \f(4\r(3)（\r(2)－1）,3) × eq \f(4\r(3)（\r(2)＋1）,3) × eq \f(2\r(2),3) ＝ eq \f(16\r(2),9) . $$