第8章 第5节 第1课时 椭圆及其简单几何性质（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第八章　解析几何 第五节　椭　圆 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 焦点 焦距 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 2a 2b a2＝b2＋c2 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 × × √ √ 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 课时作业(五十五) 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 课标解读 1．了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 3．通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 4．了解椭圆的简单应用． 1．椭圆的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的____，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作椭圆的____．根据椭圆的定义，点P(x，y)在椭圆上的充要条件为|PF1|＋|PF2|＝2a.|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1 (a>b>0) eq \f(y2,a2) ＋ eq \f(x2,b2) ＝1 (a>b>0) 图形 标准方程 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1 (a>b>0) eq \f(y2,a2) ＋ eq \f(x2,b2) ＝1 (a>b>0) 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 坐标 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 标准方程 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1 (a>b>0) eq \f(y2,a2) ＋ eq \f(x2,b2) ＝1 (a>b>0) 性质 轴 长轴A1A2的长为____； 短轴B1B2的长为____ 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝ eq \f(c,a) ∈(0，1) a，b，c 的关系 ___________________ 1．判断正误 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于同一常数的点的轨迹是椭圆．(　　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　　) (4) eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)与 eq \f(y2,a2) ＋ eq \f(x2,b2) ＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　　) 2．若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是(　　) A． eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,16) ＝1 B． eq \f(x2,100) ＋ eq \f(y2,9) ＝1 C． eq \f(y2,25) ＋ eq \f(x2,16) ＝1 D． eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,16) ＝1或 eq \f(y2,25) ＋ eq \f(x2,16) ＝1 A　解析：设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝ eq \r(a2－c2) ＝4，故点P的轨迹方程为 eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,16) ＝1. 3．椭圆 eq \f(x2,m) ＋ eq \f(y2,4) ＝1的焦距为2，则m的值等于(　　) A．5 B．8 C．5或3 D．5或8 C　解析：椭圆 eq \f(x2,m) ＋ eq \f(y2,4) ＝1的焦距为2，可得 eq \r(m－4) ＝1或 eq \r(4－m) ＝1，解得m＝5或m＝3. 4．已知椭圆C： eq \f(x2,4) ＋y2＝λ(λ>0)，则该椭圆的离心率e＝(　　) A． eq \f(\r(3),3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(5),2) C　解析：因为椭圆C的方程为 eq \f(x2,4) ＋y2＝λ(λ>0)，即 eq \f(x2,4λ) ＋ eq \f(y2,λ) ＝1，故c2＝4λ－λ＝3λ，又e2＝ eq \f(c2,a2) ＝ eq \f(3λ,4λ) ＝ eq \f(3,4) ，故e＝ eq \f(\r(3),2) . 5．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1： eq \f(x2,a2) ＋y2＝1(a>1)，C2： eq \f(x2,4) ＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝ eq \r(3) e1，则a＝(　　) A． eq \f(2\r(3),3) B． eq \r(2) C． eq \r(3) D． eq \r(6) A　解析：方法一(直接求解法)　由已知得e1＝ eq \f(\r(a2－1),a) ，e2＝ eq \f(\r(4－1),2) ＝ eq \f(\r(3),2) ，因为e2＝ eq \r(3) e1，所以 eq \f(\r(3),2) ＝ eq \r(3) × eq \f(\r(a2－1),a) ，得a＝ eq \f(2\r(3),3) . 方法二(选项代入验证法)　若a＝ eq \f(2\r(3),3) ，则e1＝ eq \f(\r(a2－1),a) ＝ eq \f(\r(（\f(2\r(3),3)）2－1),\f(2\r(3),3)) ＝ eq \f(1,2) .又e2＝ eq \f(\r(3),2) ，所以e2＝ eq \r(3) e1，所以a＝ eq \f(2\r(3),3) 符合题意． 6．已知椭圆 eq \f(x2,5) ＋ eq \f(y2,b) ＝1，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是____________________． 答案：{b|b≥1且b≠5}　解析：直线l：y＝mx＋1恒过点M(0，1)，要使直线与椭圆总有公共点，则点M(0，1)必在椭圆内或椭圆上，由此得 eq \f(02,5) ＋ eq \f(12,b) ≤1，即b≥1，又 eq \f(x2,5) ＋ eq \f(y2,b) ＝1为椭圆方程，故b≠5，所以b≥1且b≠5. 第一课时　椭圆及其简单几何性质 1.(2023·深圳模拟)已知椭圆C： eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|－|PF|的最小值为(　　) A．1 B．－1 C． eq \r(17) D．－ eq \r(17) A　解析：设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，可得|PF|＝4－|PF′|， 所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4， 当且仅当P，A，F′三点共线(点P在线段AF′上)时，|PA|＋|PF′|取得最小值， 又由椭圆C： eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1，可得F′(－1，0)且A(2，4)，所以|AF′|＝ eq \r(（2＋1）2＋16) ＝5，所以|PA|－|PF|的最小值为1. 2．已知椭圆 eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,6) ＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，点P为椭圆上一点，cos ∠F1PF2＝ eq \f(3,5) ，则|PO|＝(　　) A． eq \f(2,5) B． eq \f(\r(30),2) C． eq \f(3,5) D． eq \f(\r(35),2) B　解析：椭圆 eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,6) ＝1，F1，F2为两个焦点，c＝ eq \r(3) ， O为原点，P为椭圆上一点，cos ∠F1PF2＝ eq \f(3,5) ， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设m>n， 可得m＋n＝6，4c2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2， 即12＝m2＋n2－ eq \f(6,5) mn，可得mn＝ eq \f(15,2) ，m2＋n2＝21， 可得|PO|＝ eq \f(\r(30),2) . 3．(2023·河北深州长江中学模拟)已知A(－1，0)，B是圆C：(x－1)2＋y2＝8上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为____________________________． 答案： eq \f(x2,2) ＋y2＝1解析：如图所示，圆C：(x－1)2＋y2＝8的圆心坐标为C(1，0)，半径r＝|CB|＝2 eq \r(2) ， 因为P是线段AB的垂直平分线上的点，所以|PA|＝|PB|，则|AP|＋|PC|＝|CB|＝2 eq \r(2) ＞|OC|＝2， 根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，C为焦点的椭圆， 其中a＝ eq \r(2) ，c＝1，则有b＝ eq \r(a2－c2) ＝1，故点P的轨迹方程为 eq \f(x2,2) ＋y2＝1. 4．(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为 eq \f(1,2) .过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________________． 答案：13　解析：∵椭圆的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(1,2) ，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，∴椭圆的标准方程为 eq \f(x2,4c2) ＋ eq \f(y2,3c2) ＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，连接AF1，EF2，DF2，如图所示，∵AF2＝a，OF2＝c， ∴∠AF2O＝ eq \f(π,3) ， ∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为 eq \f(\r(3),3) ，斜率倒数为 eq \r(3) ，直线DE的方程x＝ eq \r(3) y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得13y2－6 eq \r(3) cy－9c2＝0， 判别式Δ＝(6 eq \r(3) c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2， ∴|DE|＝ eq \r(1＋（\r(3)）2) |y1－y2|＝2× eq \f(\r(Δ),13) ＝2×6×4× eq \f(c,13) ＝6， ∴c＝ eq \f(13,8) ，得a＝2c＝ eq \f(13,4) ， ∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13. 【例1】 已知定点F1(－4，0)，F2(4，0)和动点M(x，y). (1)从①|MF1|＋|MF2|＝12，②|MF1|＋|MF2|＝8这两个条件中选择一个作为已知，求动点M的轨迹及其方程； (2)|MF1|＋|MF2|＝2a(a>0)，求动点M的轨迹及其方程． 解：(1)选择条件①：|MF1|＋|MF2|＝12，因为12>|F1F2|＝8， 故点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，设其方程为 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)， 则c＝4，a＝6，b2＝a2－c2＝20，故其方程为 eq \f(x2,36) ＋ eq \f(y2,20) ＝1. 即选择条件①，点M的轨迹是椭圆，其方程为 eq \f(x2,36) ＋ eq \f(y2,20) ＝1； 选择条件②：|MF1|＋|MF2|＝8，因为8＝|F1F2|， 故点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y＝0(－4≤x≤4). (2)因为|MF1|＋|MF2|＝2a(a>0)， 当0<a<4时，此时动点M不存在，没有轨迹和方程； 当a＝4时，此时2a＝|F1F2|， 由(1)可知，此时动点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y＝0(－4≤x≤4)； 当a>4时，此时2a>|F1F2|， 此时点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其方程为 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,a2－16) ＝1. 综上所述，当0<a<4时，动点M没有轨迹和方程； 当a＝4时，动点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y＝0(－4≤x≤4)； 当a>4时，动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其方程为 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,a2－16) ＝1. 【练1】 (2024·广东深圳二模)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝ eq \f(3,2) |AF1|，则椭圆C的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,6) ＋ eq \f(y2,5) ＝1 B． eq \f(x2,5) ＋ eq \f(y2,4) ＝1 C． eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1 D． eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1 D　解析：因为|AF2|＝2|F2B|，所以可得|AB|＝ eq \f(3,2) |AF2|，又因为|AB|＝ eq \f(3,2) |AF1|， 所以可得|AF1|＝|AF2|，即A为短轴的顶点， 设A为短轴的上顶点(0，b)，F2(1，0)，c＝1，所以|AF2|＝ eq \r(b2＋1) ＝a＞1， 所以直线AB的方程为y＝－b(x－1)，由题意设椭圆的方程为 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1，且c＝1， 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝－b（x－1），)) 整理可得 eq \f(x2,a2) ＋(x－1)2＝1， 即(a2＋1)x2＝2a2x，可得xB＝ eq \f(2a2,a2＋1) ， 代入直线的方程可得yB＝ eq \f(－b（a2－1）,a2＋1) ， 所以|BF2|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2,a2＋1)－1))\s\up12(2)＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(b（a2－1）,a2＋1)))\s\up12(2)) ＝ eq \r(\f(（a2－1）2＋（a2－1）3,（a2＋1）2)) ， 因为|AF2|＝2|F2B|，所以a＝ 2 eq \r(\f(（a2－1）2＋（a2－1）3,（a2＋1）2)) ，整理可得a2＋1＝2(a2－1)， 解得a2＝3，可得b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆的方程为 eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1. 【练2】 过点( eq \r(3) ，－ eq \r(5) )，且与椭圆 eq \f(y2,25) ＋ eq \f(x2,9) ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________． 答案： eq \f(y2,20) ＋ eq \f(x2,4) ＝1　解析：所求椭圆与椭圆 eq \f(y2,25) ＋ eq \f(x2,9) ＝1的焦点相同，则其焦点在y轴上，则c2＝25－9＝16， 设它的标准方程为 eq \f(y2,a2) ＋ eq \f(x2,b2) ＝1(a＞b＞0)，于是得a2－b2＝16， 又点( eq \r(3) ，－ eq \r(5) )在所求椭圆上，即 eq \f(5,a2) ＋ eq \f(3,b2) ＝1， 联立两个方程得 eq \f(5,b2＋16) ＋ eq \f(3,b2) ＝1，即(b2)2＋8b2－48＝0，解得b2＝4，则a2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,20) ＋ eq \f(x2,4) ＝1. 所以所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,20) ＋ eq \f(x2,4) ＝1. 角度1　求椭圆的离心率的值(范围) 【例2】 (1)(2023·江西上饶模拟)已知F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A． eq \f(\r(2),2) B． eq \f(\r(21),6) C． eq \f(\r(7),4) D． eq \f(2,3) (2)(2022·全国甲卷)椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为 eq \f(1,4) ，则C的离心率为(　　) A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3) (1)C　(2)A　解析：(1)在椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)中，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a， 因为|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝ eq \f(a,2) ，|PF1|＝ eq \f(3a,2) ，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c， 由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos ∠F1PF2， 即4c2＝ eq \f(9a2,4) ＋ eq \f(a2,4) － eq \f(3a2,4) ＝ eq \f(7a2,4) ，所以 eq \f(c2,a2) ＝ eq \f(7,16) ，所以C的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(7),4) . (2)A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)， 则kAP＝ eq \f(y1,x1＋a) ，kAQ＝ eq \f(y1,－x1＋a) ， 故kAP·kAQ＝ eq \f(y1,x1＋a) · eq \f(y1,－x1＋a) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(y,－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋a2) ＝ eq \f(1,4) ， 又eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(x,a2) ＋eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(y,b2) ＝1，则y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(b2（a2－x）,a2) ， 所以eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(b2（a2－x）,\f(a2,－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋a2)) ＝ eq \f(1,4) ，即 eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(1,4) ， 所以椭圆C的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(1－\f(b2,a2)) ＝ eq \f(\r(3),2) . 【练3】 (2023·江苏南京师大附中模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率e的取值范围是(　　) A．(0， eq \f(\r(5)－1,2) ) B．( eq \f(\r(5)－1,2) ，1) C．(0， eq \f(\r(3)－1,2) ) D．( eq \f(\r(3)－1,2) ，1) A　解析：如图，椭圆的焦点在正方形的内部，∴BD直线方程为y＝x， ∴点(c，c)在椭圆内，∴ eq \f(c2,a2) ＋ eq \f(c2,b2) ＜1， 又b2＝a2－c2， ∴可得：e4－3e2＋1＞0，又e2∈(0，1)，∴e2∈(0， eq \f(3－\r(5),2) )， ∴e∈(0， eq \f(\r(5)－1,2) ). 【练4】 (2023·广东汕尾模拟)设F1，F2为椭圆C的两个焦点，M为椭圆C上一点，|MF1|＝12，|MF2|＝16，sin ∠MF2F1＝ eq \f(3,5) ，则椭圆C的离心率e＝________________． 答案： eq \f(5,7) 或 eq \f(1,5) 　解析：因为sin ∠MF2F1＝ eq \f(3,5) ，且|MF1|<|MF2|，故∠MF2F1为锐角，所以cos ∠MF2F1＝ eq \r(1－sin2∠MF2F1) ＝ eq \f(4,5) ，由余弦定理得 eq \f(4,5) ＝ eq \f(162＋|F1F2|2－122,32|F1F2|) ，即128|F1F2|＝1280＋5|F1F2|2－720，所以(|F1F2|－20)·(5|F1F2|－28)＝0，解得|F1F2|＝20或|F1F2|＝ eq \f(28,5) ，故e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(2c,2a) ＝ eq \f(|F1F2|,|MF1|＋|MF2|) ＝ eq \f(20,28) ＝ eq \f(5,7) 或e＝ eq \f(\f(28,5),28) ＝ eq \f(1,5) . 角度2　与椭圆有关的最值(或范围)问题 【例3】 (1)(2023·四川成都外国语学校模拟)已知两定点A(－3，0)和B(3，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝－x＋5上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为(　　) A．2 eq \r(2) B．4 eq \r(2) C． eq \r(26) D．2 eq \r(26) (2)(2024·河北石家庄一模)设点M是椭圆C： eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,8) ＝1上的动点，点N是圆E：(x－1)2＋y2＝1上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最小值是________________． (1)B　(2) eq \r(3) 　解析：(1)根据题意，设点A(－3，0)关于直线l：y＝－x＋5的对称点A′(x0，y0)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－0,x0＋3)＝1，,\f(y0＋0,2)＝－\f(x0－3,2)＋5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝5，,y0＝8，)) 即A′(5，8). 根据椭圆的定义可知，2a＝|AP|＋|BP|＝|A′P|＋|BP|≥|A′B|＝ eq \r(（5－3）2＋82) ＝2 eq \r(17) ， 当A′，P，B三点共线时，长轴长取最小值2 eq \r(17) ，即amin＝ eq \r(17) ， 由a2＝b2＋c2且c＝3，得b＝ eq \r(a2－c2) ＝ eq \r(a2－9) ≥ eq \r(17－9) ＝2 eq \r(2) ， 因此椭圆C的短轴的最小值为4 eq \r(2) . (2)如图，由题意可知E(1，0)，|NE|＝1，设M(x0，y0)，eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \f(x,9) ＋eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \f(y,8) ＝1⇒y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＝8eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,9))) ，－3≤x0≤3， 则|MN|＝ eq \r(|ME|2－|NE|2) ＝ eq \r(|ME|2－1) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \r(（x0－1）2＋y－1) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \r(x－2x0＋8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ,9)))) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \r(\f(x,9)－2x0＋8) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \f(\r(x－18x0＋72),3) ＝ eq \f(\r(（x0－9）2－9),3) ， 当x0＝3时，|MN|min＝ eq \f(\r(36－9),3) ＝ eq \r(3) . 【练5】 已知点F1，F2分别是椭圆 eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,16) ＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 C　解析：设M(x0，y0)，F1(－3，0)，F2(3，0)，则，所以＝(－2x0，－2y0)，＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \r(4x＋4y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \r(4×25\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,16)))＋4y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \r(100－\f(9,4)y) ，因为点M在椭圆上，所以0≤y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ≤16，所以当y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＝16时，取得最小值为8.故选C. $$