第8章 第3节 圆的方程（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第八章　解析几何 第三节　圆的方程 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 等于定长 圆心 定长 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 (a，b) 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 > 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 ＝ < 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 × × √ 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 课时作业(五十三) 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 课标解读 1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． 2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 1．圆的定义及方程 定义 圆是平面内到一定点的距离________的所有的点组成的集合．这个定点即____，而____就是半径 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：__________ 半径：r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心：________________ 半径：r＝ ________________ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) 2.点与圆的位置关系 圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PA|. 位置 关系 几何法 图示 代数法 点在 圆外 d__r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 位置 关系 几何法 图示 代数法 点在 圆上 d__r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在 圆内 d__r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 1．判断正误 (1)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　　) (2)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　　) 2．(2023·湖南模拟)若圆C与y轴相切，则圆C的方程可以为(　　) A．x2＋y2＝1 B．x2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋y2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C　解析：依题意可得圆C的圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值应等于圆的半径， x2＋y2＝1的圆心为原点，不符合题意，A选项错误； x2＋(y－1)2＝1的圆心为(0，1)，不符合题意，B选项错误； (x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，符合题意，C选项正确； (x－1)2＋(y－1)2＝2圆心为(1，1)，半径为 eq \r(2) ，不符合题意，D选项错误． 3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a满足(　　) A．a<－2 B．－ eq \f(2,3) <a<0 C．－2<a<0 D．－2<a< eq \f(2,3) D　解析：由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得－2＜a＜ eq \f(2,3) . 4．(多选)下列关于圆x2＋y2－4x－1＝0说法正确的是(　　) A．关于点(2，0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对称 D．关于直线x－y＋2＝0对称 ABC　解析：x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2，0). 圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心坐标，所以A选项正确； 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B选项正确； 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C选项正确； 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D选项不正确． 5．(多选)(2023·辽宁葫芦岛高三二模)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－ eq \f(4,3) )2＋(y－ eq \f(7,3) )2＝22 D．(x－ eq \f(8,5) )2＋(y－1)2＝ eq \f(9,5) AB　解析：对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故选项A正确； 对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故选项B正确； 对于C，点(0，0)，(－1，1)都不在圆(x－ eq \f(4,3) )2＋(y－ eq \f(7,3) )2＝22上，故选项C错误； 对于D，点(4，0)，(－1，1)都不在圆(x－ eq \f(8,5) )2＋(y－1)2＝ eq \f(9,5) 上，故选项D错误． 6．(忽视检验结论而致错)已知Rt△ABC的斜边为AB，点A(－2，0)，B(4，0)，则顶点C满足的方程为____________________________． 答案：(x－1)2＋y2＝9(除去点(－2，0)，(4，0))解析：设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中点为M(1，0)，如图所示，则半径为 eq \f(1,2) eq \r(（4＋2）2＋（0－0）2) ＝3，即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上，因此y≠0，也就是要除去两个点，即(－2，0)，(4，0)，因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(经检验应除去点(－2，0)，(4，0)). 1.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的方程为____________________________________． 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5　解析：∵点M在直线2x＋y－1＝0上， ∴设点M为(a，1－2a)， 又∵点(3，0)和(0，1)均在圆M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴ eq \r(（a－3）2＋（1－2a）2) ＝ eq \r(a2＋（－2a）2) ＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1， ∴M(1，－1)，R＝ eq \r(5) ，圆M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 2．(2023·浙江杭州高三模拟)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的一般方程． 解：方法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，,（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，,a－2b－3＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，)) 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10， 即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. 方法二　线段AB的垂直平分线方程为y＋4＝－2x， 即2x＋y＋4＝0， 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，)) 得交点坐标O(－1，－2)， 又点O到点A的距离 d＝ eq \r(（－1－2）2＋（－2＋3）2) ＝ eq \r(10) ，即半径为 eq \r(10) ， 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. 【例1】 (2024·山东日照模拟)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解：　(1)方法一　设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝ eq \f(y,x＋1) ，kBC＝ eq \f(y,x－3) ， 所以 eq \f(y,x＋1) · eq \f(y,x－3) ＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质可知|CD|＝ eq \f(1,2) |AB|＝2. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点， 由中点坐标公式得x＝ eq \f(x0＋3,2) ，y＝ eq \f(y0＋0,2) ， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 【练1】 (2023·四川绵阳江油市月考)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x－3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上． (1)求圆C的标准方程； (2)若过点T(2，0)的直线l与圆C交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，求M的轨迹方程． 解：(1)曲线y＝x2－2x－3与y轴的交点为(0，－3)，与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)， 设圆C的圆心为(1，t)， 则有12＋(t＋3)2＝(1＋1)2＋t2， 解得t＝－1. 则圆C的半径为 eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) ， ∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. (2)设M(x，y)，由题意可知MC⊥MT， ∵C(1，－1)，T(2，0)， ∴(y－0)(y＋1)＋(x－2)(x－1)＝0， 整理得(x－ eq \f(3,2) )2＋(y＋ eq \f(1,2) )2＝ eq \f(1,2) ， ∴线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－ eq \f(3,2) )2＋(y＋ eq \f(1,2) )2＝ eq \f(1,2) . 角度1　斜率型、距离型、截距型最值问题 【例2】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求 eq \f(y,x) 的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心， eq \r(3) 为半径的圆． (1) eq \f(y,x) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 eq \f(y,x) ＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1)) ＝ eq \r(3) ， 解得k＝± eq \r(3) (如图1). 所以 eq \f(y,x) 的最大值为 eq \r(3) ，最小值为－ eq \r(3) . (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 eq \f(|2－0＋b|,\r(2)) ＝ eq \r(3) ，解得b＝－2± eq \r(6) (如图2). 所以y－x的最大值为－2＋ eq \r(6) ，最小值为－2－ eq \r(6) . (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3). 又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋ eq \r(3) )2＝7＋4 eq \r(3) ，最小值是(2－ eq \r(3) )2＝7－4 eq \r(3) . 角度2　利用对称性求最值 【例3】 已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________________． 答案：2 eq \r(5) 　解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，则圆心C(2，1)，半径r＝ eq \r(5) .设A关于直线x＋y＋2＝0的对称点B(a，b)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(2＋b,2)＋2＝0，,\f(b－2,a)＝1，)))) ∴a＝－4，b＝－2，∴B(－4，－2)，∴|PA|＋|PQ|的最小值是|BC|－r＝ eq \r(（2＋4）2＋（1＋2）2) － eq \r(5) ＝2 eq \r(5) . 角度3　建立函数关系求最值 【例4】 (2023·辽宁模拟)在Rt△ABC中，C＝90°，D为AB的中点，AB＝8，E在边AB上，且满足 eq \o(CE,\s\up13(→)) · eq \o(CD,\s\up13(→)) ＝4，则| eq \o(CE,\s\up13(→)) |的最大值是(　　) A．2 eq \r(2) B． eq \r(2) C．2 eq \r(3) D． eq \r(3) A　解析：以D为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，D(0，0)， 设C(4cos θ，4sin θ)，E(t，0)，其中0<θ<π，－4≤t≤4， eq \o(CE,\s\up13(→)) ＝(t－4cos θ，－4sin θ)， eq \o(CD,\s\up13(→)) ＝(－4cos θ，－4sin θ)， 所以 eq \o(CE,\s\up13(→)) · eq \o(CD,\s\up13(→)) ＝(t－4cos θ，－4sin θ)·(－4cos θ，－4sin θ)＝－4tcos θ＋16cos2θ＋16sin2θ ＝－4t cosθ＋16，由题知 eq \o(CE,\s\up13(→)) · eq \o(CD,\s\up13(→)) ＝4， 所以－4tcos θ＋16＝4，所以tcos θ＝3， | eq \o(CE,\s\up13(→)) |＝ eq \r(（t－4cos θ）2＋（－4sin θ）2) ＝ eq \r(16－8tcos θ＋t2) ＝ eq \r(t2－8) ，其中－4≤t≤4， 所以当t＝±4时，| eq \o(CE,\s\up13(→)) |取得最大值2 eq \r(2) . 【练2】 (2023·陕西西安模拟)已知半径为2的圆经过点(5，12)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 B　解析：根据题意，设圆心为M，点A的坐标为(5，12)， 而该圆经过点(5，12)且半径为2，则圆心的轨迹是以A(5，12)为圆心，半径为2的圆，且|OA|＝ eq \r(25＋144) ＝13，则其圆心到原点的距离的最小值为13－2＝11. 【练3】 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，点P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5 eq \r(2) －4 B． eq \r(17) －1 C．6－2 eq \r(2) D． eq \r(17) A　解析：如图所示，圆心C1(2，3)，C2(3，4)，作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2与x轴交于点P，连接PC1交圆C1于点M，连接PC2，交圆C2于点N，此时|PM|＋|PN|取得最小值，为|C1′C2|－1－3＝5 eq \r(2) －4. 【练4】 (2023·福建福州模拟)已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，圆M为△ABC的外接圆， eq \o(ME,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(MA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(MB,\s\up13(→)) )，则 eq \o(ME,\s\up13(→)) · eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝________________；若P为圆M上的动点，则 eq \o(PM,\s\up13(→)) · eq \o(PE,\s\up13(→)) 的最大值为________________． 答案：0　2＋ eq \r(2) 　解析：连接MA，依题意，M是斜边BC的中点，又 eq \o(ME,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(MA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(MB,\s\up13(→)) )，故点E是AB的中点，即ME是△ABC的中位线，ME∥AC，又AC⊥AB，故ME⊥AB，于是 eq \o(ME,\s\up13(→)) · eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝0. 以圆心M为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示， 设MP与x轴正半轴的夹角为θ(θ∈[0，π])，则P( eq \r(2) cos θ， eq \r(2) sin θ). ∴ eq \o(PM,\s\up13(→)) ＝(－ eq \r(2) cos θ，－ eq \r(2) sin θ)， eq \o(PE,\s\up13(→)) ＝(－ eq \r(2) cos θ，－1－ eq \r(2) sin θ)， ∴ eq \o(PM,\s\up13(→)) · eq \o(PE,\s\up13(→)) ＝2cos2θ＋ eq \r(2) sinθ(1＋ eq \r(2) sin θ)＝2＋ eq \r(2) sin θ， ∴2－ eq \r(2) ≤ eq \o(PM,\s\up13(→)) · eq \o(PE,\s\up13(→)) ≤2＋ eq \r(2) ，当θ＝ eq \f(π,2) 时， eq \o(PM,\s\up13(→)) · eq \o(PE,\s\up13(→)) 取到最大值2＋ eq \r(2) . $$