第8章 第2节 两条直线的位置关系与距离公式（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第八章　解析几何 第二节　两条直线的位置关系与距离公式 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 不存在 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 相交 平行 重合 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 × × × √ 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 课时作业(五十二) 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 课标解读 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3．探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行的判定 设两条直线l1，l2的方程分别是l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则两条直线l1，l2的关系如下： l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2.若k1＝k2，并且b1＝b2，那么两条直线l1，l2重合． 如果直线l1，l2的斜率都不存在，它们都与x轴垂直但在x轴上的截距不同，这时仍有l1∥l2. (2)两条直线垂直的判定 设两条直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，它们的斜率分别为k1，k2. 当两条直线的斜率都存在时，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 如果两条直线l1与l2中的一条斜率______，另一条斜率为零，那么l1与l2的位置关系是l1⊥l2. (3)用直线的方向向量或法向量判定两直线平行与垂直 已知两直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①判断两条直线平行：l1∥l2⇔A2＝λA1，B2＝λB1，C2≠λC1，λ为非零实数． ②判断两条直线垂直：l1⊥l2⇔法向量垂直⇔(A1，B1)·(A2，B2)＝A1A2＋B1B2＝0. 2．两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如下表所示． 方程组 的解的情况 一组解 无解 无数 组解 直线l1，l2的公共点个数 一个 零个 无数个 直线l1，l2的位置关系 ____ ____ ____ 3.三种距离 三种 距离 条件 公式 两点间 的距离 A(x1，y1)， B(x2，y2) |AB|＝ _______________________ 点到直线 的距离 P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d d＝_______________ 两平行 线间的距离 直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d d＝_______________ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) 1．判断正误 (1)当直线l1和l2斜率都存在时，则k1＝k2⇒l1∥l2.(　　　) (2)如果两条直线l1和l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　　) (3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为 eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)) .(　　　) (4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　　) 2．(2023·山东济宁高三二模)“a＝ eq \f(1,2) ”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A　解析：若直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1×（－a）＝2a·（a－1），,1×（－1）≠（－1）·（a－1），)) 解得a＝0或a＝ eq \f(1,2) ，所以“a＝ eq \f(1,2) ”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行”的充分而不必要条件． 3．直线l1：mx－y＋1＝0，l2：(3m－2)x＋my－2＝0，若l1⊥l2，则实数m的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D． eq \f(1,3) 或1 C　解析：直线l1：mx－y＋1＝0，l2：(3m－2)x＋my－2＝0， l1⊥l2⇒m(3m－2)－m＝0，即m2－m＝0， 解得m＝0或m＝1. 4．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4 B． eq \f(\r(10),20) C． eq \f(\r(10),4) D． eq \f(7\r(10),20) D　解析：由直线平行可得3m－6＝0，解得m＝2，则直线方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋ eq \f(1,2) ＝0，则两直线间的距离是 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋3)),\r(32＋12)) ＝ eq \f(7\r(10),20) . 5．若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．2x－2y＋1＝0 D．2x＋y－2＝0 A　解析：由题意可知AB的中点坐标是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,2)，\f(2a＋1,2))) ，kAB＝ eq \f(a－（a＋1）,a－（a－1）) ＝－1， 因为A，B关于直线l对称，所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直， 所以直线l的斜率为kl＝ eq \f(－1,kAB) ＝1，所以直线l的方程为y－ eq \f(2a＋1,2) ＝x－ eq \f(2a－1,2) ，即x－y＋1＝0. 6．(忽视斜率不存在而致误)若直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________________． 答案：x＝－1或x＋3y－5＝0　解析：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由题意知 eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1)) ＝ eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1)) ，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－ eq \f(1,3) .∴直线l的方程为y－2＝－ eq \f(1,3) (x＋1)，即x＋3y－5＝0. 综上可得，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 1.(2023·陕西师大附中高考数学模拟)“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 C　解析：直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直，则2(m＋1)＋m＋4＝0，解得m＝－2，故“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直”的充要条件． 2．(2023·北京模拟)若关于x，y的方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋1＝0，,2x＋ay＋1＝0)) (a∈R)无解，则a＝(　　) A．2 B． eq \r(2) C．1 D． eq \f(\r(2),2) C　解析：由题意可得方程组无解，等价于直线4x＋2y＋1＝0和直线2x＋ay＋1＝0平行，则 eq \f(4,2) ＝ eq \f(2,a) ≠ eq \f(1,1) ，解得a＝1.故选C. 3．(2023·山东济南历城第二中学模拟)已知a>0，b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则 eq \f(1,a＋1) ＋ eq \f(1,2b) 的最小值为(　　) A．2 B．4 C． eq \f(2,5) D． eq \f(4,5) D　解析：因为a>0，b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2， 所以2b＋a－4＝0，即a＋2b＝4，所以(a＋1)＋2b＝5，所以 eq \f(1,5) [(a＋1)＋2b]＝1， 所以 eq \f(1,a＋1) ＋ eq \f(1,2b) ＝ eq \f(1,5) [(a＋1)＋2b] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(1,2b))) ＝ eq \f(1,5) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2b)＋\f(2b,a＋1))))) ≥ eq \f(1,5) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(a＋1,2b)·\f(2b,a＋1)))) ＝ eq \f(4,5) ， 当且仅当 eq \f(a＋1,2b) ＝ eq \f(2b,a＋1) ，即a＝ eq \f(3,2) ，b＝ eq \f(5,4) 时等号成立，所以 eq \f(1,a＋1) ＋ eq \f(1,2b) 的最小值为 eq \f(4,5) . 4．在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，则直线l1：(sin2A)x＋(sinA)y－a＝0与l2：(sin2B)x＋(sinC)y－c＝0的位置关系是(　　) A．重合 B．相交不垂直 C．垂直 D．平行 A　解析：因为lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列， 所以有lg sin B－lg sin A＝lg sin C－lg sin B， 即 eq \f(sin B,sin A) ＝ eq \f(sin C,sin B) ⇒sin2B＝sinAsin C， 因为 eq \f(sin2A,sin2B) ＝ eq \f(sin2A,sinAsin C) ＝ eq \f(sin A,sin C) ， eq \f(－a,－c) ＝ eq \f(sin A,sin C) ，所以两直线重合． 1．(2023·华侨中学龙华区模拟)若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　) A．4 B．2 C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,4) A　解析：直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点， 满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋4，,y＝kx（k≠－2），)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,k＋2)，,y＝\f(4k,k＋2)，)) 由于该点在直线y＝x＋2上， 故 eq \f(4k,k＋2) ＝ eq \f(4,k＋2) ＋2，解得k＝4. 2．(2023·江苏模拟)点P为直线3x－4y＋2＝0上任意一个动点，则P到点(3，－1)的距离的最小值为________________． 答案：3　解析：由题意得当点P和点(3，－1)的连线和直线3x－4y＋2＝0垂直时距离最小，此时距离等于点(3，－1)到直线3x－4y＋2＝0的距离 eq \f(|3×3－4×（－1）＋2|,\r(32＋（－4）2)) ＝3，故P到点(3，－1)的距离的最小值为3. 3．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________________． 答案： eq \f(29,10) 　解析：因为 eq \f(3,6) ＝ eq \f(4,8) ≠ eq \f(－12,5) ，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即 eq \f(|－24－5|,\r(62＋82)) ＝ eq \f(29,10) ，所以|PQ|的最小值为 eq \f(29,10) . 4．(2024·山东聊城二模)实数x1，x2，y1，y2满足：x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －ln x1－y1＝0，x2－y2－4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为________________． 答案：8　解析：由x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －ln x1－y1＝0，则y1＝x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －ln x1，又x2－y2－4＝0， (x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值转化为y＝x2－ln x(x>0)上的点与x－y－4＝0上的点的距离的平方的最小值， 由y＝x2－ln x，得y′＝2x－ eq \f(1,x) ， 与x－y－4＝0平行的直线的斜率为1， ∴2x－ eq \f(1,x) ＝1，解得x＝1或x＝－ eq \f(1,2) (舍去)，可得切点为(1，1)， 切点到直线x－y－4＝0的距离的平方，即为(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值， ∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－4|,\r(1＋1)))) eq \s\up12(2) ＝8. 角度1　中心对称问题 【例1】 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________． 答案：x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a).由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 【练1】 直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　) A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0 B　解析：由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0.令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，)))) 可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1，)) 所以N(－3，1).设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则 eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9)) ＝ eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9)) ，解得c＝12或c＝－6(舍去).故所求直线方程为2x＋3y＋12＝0. 角度2　轴对称问题 【例2】 (1)(2024·山东青岛二模)直线x－2y＋1＝0关于y＝x－1对称的直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋4＝0 C．x＋2y－7＝0 D．2x－y－4＝0 (2)已知点A的坐标为(－4，4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________________． (1)D　(2)(2，6)　解析：(1)在所求的直线上任取一点(x，y)，关于y＝x－1对称的点为(x0，y0)， 则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0)＝－1，,\f(y＋y0,2)＝\f(x＋x0,2)－1，))) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x0＝y＋1，,y0＝x－1，))) 因为点(x0，y0)在直线x－2y＋1＝0上， 所以y＋1－2(x－1)＋1＝0，即2x－y－4＝0. (2)设点A′的坐标为(x，y)，由题意可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y－4,x＋4)＝\f(1,3)，,3×\f(x－4,2)＋\f(y＋4,2)－2＝0，)))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝6，)))) 所以点A′的坐标为(2，6). 【练2】 (2023·安徽六安模拟)光线从P(2，0)出发，经x＝4，y＝x＋1两直线反射后，仍返回到P点，如图所示，则光线从P点出发回到P点所走的路程长度(即图中△PDE周长)为________________． 答案： eq \r(58) 　解析：如图所示，显然P关于直线x＝4的对称点F (6，0)，由反射光线性质知DF＝DP， 设P关于直线y＝x＋1的对称点H(x，y)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－0,x－2)＝－1，,\f(y＋0,2)＝\f(x＋2,2)＋1，)) 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，)) 故H(－1，3)，由反射光线性质知EH＝EP， 所以△PDE各边即为光线所走的路线，其周长等于线段FH的长度，且FH＝ eq \r(（6＋1）2＋32) ＝ eq \r(58) . 【例3】 (1)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． (2)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行且在x轴，y轴上的截距和是1的直线l的方程． 解：(1)方法一　解l1与l2组成的方程组得交点P(0，2)，因为直线l3的斜率k3＝ eq \f(3,4) ，所以直线l的斜率k＝－ eq \f(4,3) ，方程为y－2＝－ eq \f(4,3) x，即4x＋3y－6＝0. 方法二　设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，由方法一可知P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 方法三　设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. (2)方法一　设直线l： eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1，则a＋b＝1和－ eq \f(b,a) ＝ eq \f(3,4) 组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.故l的方程为 eq \f(x,4) － eq \f(y,3) ＝1，即3x－4y－12＝0. 方法二　根据平行直线系方程可设直线l为3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－ eq \f(c,3) ， eq \f(c,4) ，由－ eq \f(c,3) ＋ eq \f(c,4) ＝1，知c＝－12.故直线l的方程为3x－4y－12＝0. 【练3】 求经过直线l1：2x＋3y－5＝0与l2：7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程． 解：设要求的直线方程为2x＋3y－5＋λ(7x＋15y＋1)＝0， 化为(2＋7λ)x＋(3＋15λ)y＋(λ－5)＝0， 又要求的直线与直线x＋2y－3＝0平行， 所以 eq \f(2＋7λ,1) ＝ eq \f(3＋15λ,2) ≠ eq \f(λ－5,－3) ， 所以λ＝1， 所以要求的直线方程为9x＋18y－4＝0. 【练4】 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5, 7)等距离的直线方程． 解：设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0， 由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得 eq \f(|（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2)) ＝ eq \f(|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2)) ， 整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝ eq \f(29,35) 或λ＝ eq \f(1,3) ， 所以所求直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1. $$