第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第八章　解析几何 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 0≤α<π 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 正切值k tan α 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 × × × √ 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 课时作业(五十一) 返回导航 第1轮 数学（X） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 课标解读 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式). 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0. (2)范围：直线l倾斜角的范围是___________． 2．直线的斜率 (1) 定义：一条直线的倾斜角α(α≠ eq \f(π,2) )的________称为这条直线的斜率．即k＝____________． (2) 过两点的直线的斜率公式：设直线l的倾斜角为α，已知直线l上任意两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则有k＝tan α＝ eq \f(y2－y1,x2－x1) . 3．倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，它们的对应关系 图示 倾斜角(范围) 斜率(范围) α＝0 k＝0 0<α< eq \f(π,2) k>0 图示 倾斜角(范围) 斜率(范围) α＝ eq \f(π,2) 不存在 eq \f(π,2) <α<π k<0 4.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 eq \f(y－y1,y2－y1) ＝ eq \f(x－x1,x2－x1) (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 名称 方程 适用范围 截距式 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 5.直线的方向向量 (1)与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量． (2)斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍． (3)直线 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的一个方向向量为(B，－A). 6．直线的法向量 (1)与直线l垂直的非零向量n＝(A，B)称为直线l的一个法向量． (2)直线 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的一个法向量为(A，B). (3)过点(x0，y0)，且法向量为(A，B)的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 1．判断正误 (1)直线的倾斜角越小，其斜率就越小．(　　　) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　　) 2．(2023·重庆南开中学高三模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝(sin eq \f(π,3) ，cos eq \f(π,3) )，则直线l的倾斜角为(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(4π,3) A　解析：由题意可得：直线l的斜率k＝ eq \f(cos \f(π,3),sin \f(π,3)) ＝ eq \f(\r(3),3) ＝tan eq \f(π,6) ，即直线l的倾斜角为 eq \f(π,6) . 3．直线l1，l2，l3，l4的图象如图所示，则斜率最小的直线是(　　) A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 B　解析：由题图知：，故斜率最小的直线是l2. 4．直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)过定点________________，使得直线斜率最小的倾斜角是________________． 答案：(1，－1)　135°　解析：直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)可以化为m2(y＋1)＋y＋x＝0过定点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋1＝0，,y＋x＝0，)) 解得x＝1，y＝－1，即定点(1，－1)， 直线可化为y＝－ eq \f(1,m2＋1) x－ eq \f(m2,m2＋1) . m2≥0⇒m2＋1≥1⇒0＜ eq \f(1,m2＋1) ≤1⇒－1≤－ eq \f(1,m2＋1) ＜0，则使得直线斜率最小的倾斜角是135°． 5．(忽视截距为零而致误)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________________________________________． 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0　解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,a) ＝1， 则 eq \f(2,a) ＋ eq \f(3,a) ＝1，解得a＝5. 所以直线方程为x＋y－5＝0. 综上可得，此直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 1.已知两点A(2，－3)，B(－3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k满足(　　) A．－4≤k≤－ eq \f(1,4) B．k≤－4或k≥－ eq \f(1,4) C．－4≤k≤ eq \f(3,4) D．－ eq \f(3,4) ≤k≤4 B　解析：如图所示，当直线l过点A时，k＝ eq \f(－3－1,2－1) ＝－4，当直线l过点B时，k＝ eq \f(2－1,－3－1) ＝－ eq \f(1,4) ， 由题图知k≤－4或k≥－ eq \f(1,4) . 2．直线x＋y cos θ－5＝0的倾斜角α的取值范围是________________． 答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) 　解析：当cos θ＝0时，α＝ eq \f(π,2) .当cos θ≠0时，斜率k＝－ eq \f(1,cos θ) ， ∵cos θ∈[－1，0)∪(0，1]， ∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞). ∴α∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) ∪ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) . ∴α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) . 3．已知P(x，y)在线段AB上运动，A(2，4)，B(5，－2)，则 eq \f(y＋1,x＋1) 的取值范围是________________． 答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(5,3))) 　解析： eq \f(y＋1,x＋1) 表示线段AB上的点与C(－1，－1)连线的斜率， 因为kAC＝ eq \f(4－（－1）,2－（－1）) ＝ eq \f(5,3) ，kBC＝ eq \f(－2－（－1）,5－（－1）) ＝－ eq \f(1,6) ，所以由题图可知 eq \f(y＋1,x＋1) 的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(5,3))) . 1.(2023·青岛模拟)已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，若l过点A(－4，3)，则直线l的方程为(　　) A．y－3＝－ eq \f(3,2) (x＋4) B．y＋3＝ eq \f(3,2) (x－4) C．y－3＝ eq \f(3,2) (x＋4) D．y＋3＝－ eq \f(3,2) (x－4) C　解析：因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)， 所以直线l的斜率k＝ eq \f(3,2) ，故直线l的方程为y－3＝ eq \f(3,2) (x＋4). 2．(2023·江西宜春三模)已知过定点(2，1)作直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，这样的直线有(　　) A．2条 B．3条 C．4条 D．0条 B　解析：根据题意，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，设直线l与x轴的交点为(a，0)，与y轴的交点为(0，b)， 则直线l的方程为 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1，直线l经过点(2，1)，则有 eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) ＝1，① 直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则S＝ eq \f(1,2) ×|a|×|b|＝4，变形可得ab＝±8，② 联立①②可得：a2－8a＋16＝0或a2＋8a－16＝0， 方程a2－8a＋16＝0，Δ1＝(－8)2－4×16＝0，有1个实根， 方程a2＋8a－16＝0，Δ2＝82＋4×16>0，有2个实根， 则三组不同的实数解a和b满足题意，故条符合条件的直线有3条． 3．(2023·江苏模拟)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0 A　解析：把A(2，1)代入直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0， 则2(a1－a2)＝b2－b1， ∵过点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程是 eq \f(y－b1,b2－b1) ＝ eq \f(x－a1,a2－a1) ， ∴y－b1＝－2(x－a1)，则2x＋y－(2a1＋b1)＝0， ∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1， ∴所求直线方程为2x＋y＋1＝0. 角度1　直线过定点问题 【例1】 (2023·上海模拟)对任意的实数a，b，直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0恒经过的一个定点的坐标是________________． 答案：(1，2)　解析：由直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0整理得a(x－y＋1)＋2b(x＋y－3)＝0， 对任意的实数a，b，直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0恒经过的一个定点， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x＋y－3＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.)) 由点(1，2)代入直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0， 满足(a＋2b)×1＋(2b－a)×2＋a－6b＝0. 所以点(1，2)在直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0上， 即直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0恒过定点(1，2). 【练1】 (2023·福建南平高三第三次模拟)对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为________． 答案：(－1，－1)　解析：由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,x－2y＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，)) 则A(2，1). 又B(1，0)，则 eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝(－1，－1). 即直线AB的一个方向向量为(－1，－1). 角度2　与直线方程有关的最值问题 【例2】 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 解：方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0)) ，B(0，1－2k)， S△AOB＝ eq \f(1,2) (1－2k)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k))) ＝ eq \f(1,2) [4＋(－4k)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,k))))) ]≥ eq \f(1,2) ×(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－ eq \f(1,k) ，即k＝－ eq \f(1,2) 时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－ eq \f(1,2) (x－2)，即x＋2y－4＝0. 方法二　设直线l： eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2，1)，所以 eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) ＝1，则1＝ eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) ≥2 eq \r(\f(2,ab)) ，故ab≥8，故S△AOB＝ eq \f(1,2) ×ab≥ eq \f(1,2) ×8＝4，当且仅当 eq \f(2,a) ＝ eq \f(1,b) ＝ eq \f(1,2) ，即a＝4，b＝2时取等号，故直线l： eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,2) ＝1，即x＋2y－4＝0. 【变式探究】 在本例条件下，当|OA|＋|OB|取得最小值时，求直线l的方程． 解：由本例方法二可知， eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) ＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b))) ＝3＋ eq \f(a,b) ＋ eq \f(2b,a) ≥3＋2 eq \r(2) ，当且仅当a2＝2b2，即a＝2＋ eq \r(2) ，b＝1＋ eq \r(2) 时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋ eq \r(2) y＝2＋ eq \r(2) . 【练2】 (2023·江苏模拟)若0＜k＜4，直线l1：y－4＝ eq \f(k,2) (x－2)和直线l2：y－4＝－ eq \f(8,k2) (x－2)与两坐标轴围成一个四边形，如图所示，则使这个四边形面积最小的k值为____________． 答案： eq \f(1,2) 　解析：如图所示，作PD⊥AO，直线l1：y－4＝ eq \f(k,2) (x－2)，过定点P(2，4)，与y轴的交点B(0，4－k)， 直线l2：y－4＝－ eq \f(8,k2) (x－2)过定点P(2，4)，与x轴的交点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k2＋2，0)) ， 由题意知，四边形OAPB的面积等于△APD的面积和梯形OBPD的面积之和， 所以所求四边形的面积为 eq \f(1,2) ×4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k2＋2－2)) ＋ eq \f(2×（4－k＋4）,2) ＝k2－k＋8， 当k＝ eq \f(1,2) 时，所求四边形OAPB的面积最小． $$