第7章 第5节 空间向量及其运算（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第七章　立体几何 第五节　空间向量及其运算 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 垂直 坐标平面 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 有序实数组 横 纵 竖 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 0 0 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 a·b＋a·c λ(a·b) 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 × × × × 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 课时作业(四十七) 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 谢谢观看！ 课标解读 1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置． 2．借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 3．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 4．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 5．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 6．掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示． 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的定义 如图，在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两____的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴和z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O­xyz. 在空间直角坐标系O­xyz中，由两条坐标轴确定的平面叫作________，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面． (2)空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，建立了空间中的点P与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系．__________(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的__坐标，y叫作点P的__坐标，z叫作点P的__坐标． (3)空间两点间的距离公式 已知空间中A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，则A，B两点间的距离为|AB|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2) .这就是空间两点间的距离公式． 提醒：原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|＝ eq \r(x2＋y2＋z2) . 2．空间向量中的特殊向量 名称 概念 零向量 模为__的向量，方向为任意方向 单位向量 长度(模)为__的向量 相等向量 方向____且长度____的向量 相反向量 方向____且长度____的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相__________的向量 共面向量 能平移到同一平面内的向量叫作共面向量 3.空间向量中的有关定理 定理 语言描述 向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b (a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a 向量共面的充要条件 如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2 共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xe1＋ye2 空间向量基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和p＝xe1＋ye2＋ze3 4.空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积及其性质 定义 已知两个空间向量a，b，a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉为a，b的数量积，零向量与任意向量的数量积为__，即0·a＝__ 性质 a·a＝|a|2；|a|＝ eq \r(a·a) ；a·b＝0⇔a⊥b；cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) (a≠0，b≠0) 运算律 a·b＝b·a(交换律) a·(b＋c)＝______________(分配律) (λa)·b＝_________________ (λ∈R) (2)投影向量 如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得 eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up13(→)) ＝b，〈a，b〉＝α. 过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则OB1为 eq \o(OB,\s\up13(→)) 在 eq \o(OA,\s\up13(→)) 方向上的投影向量，投影向量的模|OB1|＝| eq \o(OB,\s\up13(→)) ||cos α| 称为投影长． 5．空间向量的坐标表示 (1)向量线性运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)， λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R. 当a∥b时，(x1，y1，z1)＝λ(x2，y2，z2)， 其中λ∈R，即a∥b⇔(x1，y1，z1) ∥(x2，y2，z2)⇔ x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1(λ∈R). (2)向量数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 a·b＝(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2. |a|＝ eq \r(a·a) ＝ eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(x ＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋z eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ) ， cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x ＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋z eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) )\r(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＋z eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) )) . a⊥b⇔a·b＝0⇔______________________________． 1．判断正误 (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　　) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　　　) (3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　　) (4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　　　) 2．(2023·江西萍乡芦溪中学一模)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(　　) A．a＋b，a－b－c，3a－c B．a－2b，a＋c，－3b－c C．2a＋b，a－c，3a＋b－c D．a－2b，b＋c，3a－3b＋c C　解析：对于A，若a＋b，a－b－c，3a－c共面， 则存在实数x，y使得a＋b＝x(a－b－c)＋y(3a－c)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝1，,－x＝1，,－x－y＝0，)) 无解， 所以a＋b，a－b－c，3a－c不共面，故A错误； 对于B，若a－2b，a＋c，－3b－c共面， 则存在实数m，n使得a－2b＝m(a＋c)＋n(－3b－c)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,－3n＝－2，,m－n＝0，)) 无解， 故a－2b，a＋c，－3b－c不共面，故B错误； 对于C，因为(2a＋b)＋(a－c)＝3a＋b－c， 所以2a＋b，a－c，3a＋b－c共面，故C正确； 对于D，若a－2b，b＋c，3a－3b＋c共面， 则存在实数s，t使得a－2b＝s(b＋c)＋t(3a－3b＋c)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t＝1，,s－3t＝－2，,s＋t＝0，)) 无解， 故a－2b，b＋c，3a－3b＋c不共面，故D错误． 故选C. 3．(2023·湖南师大附中模拟)如图，点M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且MN＝ eq \f(1,3) OM，设 eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up13(→)) ＝b， eq \o(OC,\s\up13(→)) ＝c，则下列向量与 eq \o(AN,\s\up13(→)) 相等的是(　　) A．－a＋ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c B．a＋ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c C．－a＋ eq \f(1,6) b＋ eq \f(1,6) c D．a＋ eq \f(1,6) b＋ eq \f(1,6) c A　解析：∵M在四面体OABC的棱BC的中点，MN＝ eq \f(1,3) OM， ∴ eq \o(AN,\s\up13(→)) ＝ eq \o(ON,\s\up13(→)) － eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(OM,\s\up13(→)) － eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ( eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OC,\s\up13(→)) )－ eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up13(→)) － eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝－a＋ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c. 4．(2023·江西模拟)已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 eq \o(PA,\s\up13(→)) · eq \o(PB,\s\up13(→)) 的最小值为(　　) A．－2 B．－3 C．－1 D．0 A　解析：由题意知，正方体的外接球的球心为O， 正方体的外接球的直径AB＝ eq \r(22＋22＋22) ＝2 eq \r(3) ， 则O为AB的中点， 所以 eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝－ eq \o(OB,\s\up13(→)) ，且 eq \o(|OA,\s\up13(→)) |＝| eq \o(OB,\s\up13(→)) |＝ eq \r(3) ， 故 eq \o(PA,\s\up13(→)) · eq \o(PB,\s\up13(→)) ＝( eq \o(OA,\s\up13(→)) － eq \o(OP,\s\up13(→)) )·( eq \o(OB,\s\up13(→)) － eq \o(OP,\s\up13(→)) )＝ eq \o(OA,\s\up13(→)) · eq \o(OB,\s\up13(→)) －( eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up13(→)) )· eq \o(OP,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OP,\s\up13(→)) 2＝ eq \o(OP,\s\up13(→)) 2－3， 由于| eq \o(OP,\s\up13(→)) |≥ eq \f(2,2) ＝1，所以 eq \o(PA,\s\up13(→)) · eq \o(PB,\s\up13(→)) 的最小值1－3＝－2. 5．(2023·安徽滁州五校联考)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，若(2a－b)·b＝1，则x＝(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．6 B　解析：向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)， 则2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)， (2a－b)·b＝1，则－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3. 6．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足 eq \o(OM,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(4,5) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,5) eq \o(BC,\s\up13(→)) ，则点M________________(填“∈”或“∉”)平面ABC. 答案：∈　解析：∵ eq \o(OM,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(4,5) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,5) eq \o(BC,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(4,5) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,5) ( eq \o(OC,\s\up13(→)) － eq \o(OB,\s\up13(→)) )＝ eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,5) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,5) eq \o(OC,\s\up13(→)) ， ∵ eq \f(1,5) ＋ eq \f(2,5) ＋ eq \f(2,5) ＝1， ∴M，A，B，C四点共面，即点M∈平面ABC. 1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出下列各式： 其中运算结果为向量AC1的共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D　解析：对①，( eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up13(→)) )＋＝ eq \o(AC,\s\up13(→)) ＋＝； 2．(2023·四川绵阳南山中学模拟)如图，设 eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up13(→)) ＝b， eq \o(OC,\s\up13(→)) ＝c，若 eq \o(AN,\s\up13(→)) ＝ eq \o(NB,\s\up13(→)) ， eq \o(BM,\s\up13(→)) ＝2 eq \o(MC,\s\up13(→)) ，则 eq \o(MN,\s\up13(→)) ＝(　　) A． eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,6) b－ eq \f(2,3) c B．－ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,6) b＋ eq \f(2,3) c C． eq \f(1,2) a－ eq \f(1,6) b－ eq \f(1,3) c D．－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,6) b＋ eq \f(1,3) c A　解析：由题意得 eq \o(MN,\s\up13(→)) ＝ eq \o(MB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(BN,\s\up13(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up13(→)) ＝ eq \f(2,3) ( eq \o(OB,\s\up13(→)) － eq \o(OC,\s\up13(→)) )＋ eq \f(1,2) ( eq \o(OA,\s\up13(→)) － eq \o(OB,\s\up13(→)) ) ＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,6) eq \o(OB,\s\up13(→)) － eq \f(2,3) eq \o(OC,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,6) b－ eq \f(2,3) c. 3．(2023·江西赣州月考)在三棱柱ABC­A1B1C1中， eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝a， eq \o(AC,\s\up13(→)) ＝b，＝c，若点D为B1C1的中点，则 eq \o(CD,\s\up13(→)) ＝(　　) A． eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋c B． eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c C． eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b－c D．a＋ eq \f(1,2) b－ eq \f(1,2) c A　解析：∵ eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝a， eq \o(AC,\s\up13(→)) ＝b，＝c，点D为B1C1的中点， 角度1　共线向量定理的应用 【例1】 (2023·山西太原模拟)在△ABC中，点D在BC上，且BD＝2DC，过D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，记 eq \o(AM,\s\up13(→)) ＝λ eq \o(AB,\s\up13(→)) ， eq \o(AN,\s\up13(→)) ＝μ eq \o(AC,\s\up13(→)) ，若λ＝ eq \f(2,3) ，则μ＝(　　) A． eq \f(5,3) B． eq \f(3,2) C． eq \f(4,3) D． eq \f(5,4) C　解析：依题意 eq \o(AD,\s\up13(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up13(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up13(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,3) ( eq \o(AC,\s\up13(→)) － eq \o(AB,\s\up13(→)) )＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up13(→)) ， 又 eq \o(AM,\s\up13(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up13(→)) ，即 eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝ eq \f(3,2) eq \o(AM,\s\up13(→)) ， eq \o(AN,\s\up13(→)) ＝μ eq \o(AC,\s\up13(→)) 即 eq \o(AC,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,μ) eq \o(AN,\s\up13(→)) ， 所以 eq \o(AD,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,3) × eq \f(3,2) eq \o(AM,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,3) × eq \f(1,μ) eq \o(AN,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(AM,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,3μ) eq \o(AN,\s\up13(→)) ，因为D，M，N三点共线，所以 eq \f(1,2) ＋ eq \f(2,3μ) ＝1，解得μ＝ eq \f(4,3) . 【练1】 (2023·天津南开中学模拟)如图，在△ABC中， eq \o(AD,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up13(→)) ，P是线段BD上一点，若 eq \o(AP,\s\up13(→)) ＝m eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,5) eq \o(AC,\s\up13(→)) ，则实数m的值为(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(2,3) C．2 D． eq \f(1,5) D　解析：由 eq \o(AD,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up13(→)) 可得 eq \o(AD,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up13(→)) ，即 eq \o(AC,\s\up13(→)) ＝4 eq \o(AD,\s\up13(→)) ， 故 eq \o(AP,\s\up13(→)) ＝m eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,5) eq \o(AC,\s\up13(→)) ＝m eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(4,5) eq \o(AD,\s\up13(→)) . 因为B，P，D三点共线，所以m＋ eq \f(4,5) ＝1，m＝ eq \f(1,5) . 角度2　共面向量定理的应用 【例2】 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 eq \o(OM,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,3) ( eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OC,\s\up13(→)) ). (1)判断 eq \o(MA,\s\up13(→)) ， eq \o(MB,\s\up13(→)) ， eq \o(MC,\s\up13(→)) 三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由已知 eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OC,\s\up13(→)) ＝3 eq \o(OM,\s\up13(→)) ， ∴ eq \o(OA,\s\up13(→)) － eq \o(OM,\s\up13(→)) ＝( eq \o(OM,\s\up13(→)) － eq \o(OB,\s\up13(→)) )＋( eq \o(OM,\s\up13(→)) － eq \o(OC,\s\up13(→)) ). 即 eq \o(MA,\s\up13(→)) ＝ eq \o(BM,\s\up13(→)) ＋ eq \o(CM,\s\up13(→)) ＝－ eq \o(MB,\s\up13(→)) － eq \o(MC,\s\up13(→)) ， ∴ eq \o(MA,\s\up13(→)) ， eq \o(MB,\s\up13(→)) ， eq \o(MC,\s\up13(→)) 三个向量共面． (2)由(1)知 eq \o(MA,\s\up13(→)) ， eq \o(MB,\s\up13(→)) ， eq \o(MC,\s\up13(→)) 共面且过同一点M， ∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 【例3】 如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足 eq \o(AM,\s\up13(→)) ＝kAC1， eq \o(BN,\s\up13(→)) ＝k eq \o(BC,\s\up13(→)) (0≤k≤1).判断向量 eq \o(MN,\s\up13(→)) 是否与向量 eq \o(AB,\s\up13(→)) ，共面． 【练2】 (2023·黑龙江鹤岗一中模拟)在△ABC中，点M是BC上一点，且 eq \o(BC,\s\up13(→)) ＝3 eq \o(BM,\s\up13(→)) ，点P为AM上一点，向量 eq \o(BP,\s\up13(→)) ＝λ eq \o(BA,\s\up13(→)) ＋μ eq \o(BC,\s\up13(→)) (λ＞0，μ＞0)，则 eq \f(3,λ) ＋ eq \f(1,μ) 的最小值为(　　) A．16 B．12 C．8 D．4 B　解析：因为 eq \o(BC,\s\up13(→)) ＝3 eq \o(BM,\s\up13(→)) ， 所以 eq \o(BP,\s\up13(→)) ＝λ eq \o(BA,\s\up13(→)) ＋μ eq \o(BC,\s\up13(→)) ＝λ eq \o(BA,\s\up13(→)) ＋3μ eq \o(BM,\s\up13(→)) ， 又A，P，M三点共线，所以λ＋3μ＝1， 所以 eq \f(3,λ) ＋ eq \f(1,μ) ＝(λ＋3μ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,λ)＋\f(1,μ))) ＝6＋ eq \f(λ,μ) ＋ eq \f(9μ,λ) ≥6＋2 eq \r(\f(λ,μ)×\f(9μ,λ)) ＝12，当且仅当λ＝3u，即λ＝ eq \f(1,2) ，μ＝ eq \f(1,6) 时等号成立，所以 eq \f(3,λ) ＋ eq \f(1,μ) 的最小值为12. 【练3】 已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有 eq \o(PM,\s\up13(→)) ＝PB1＋7 eq \o(BA,\s\up13(→)) ＋，那么点M必在平面________________内． 答案：BA1D1　解析：因为 eq \o(PM,\s\up13(→)) ＝PB1＋7 eq \o(BA,\s\up13(→)) ＋ 所以M，B，A1，D1四点共面，即点M必在平面BA1D1内． 角度1　空间向量数量积的运算 【例4】 在三棱锥P­ABC中，PB＝PC＝1，∠APB＝∠APC＝90°，∠BPC＝60°，则 eq \o(AB,\s\up13(→)) · eq \o(PC,\s\up13(→)) ＝(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),2) C．1 D． eq \r(2) A　解析：因为三棱锥P­ABC中，PB＝PC＝1，∠APB＝∠APC＝90°，∠BPC＝60°， 所以 eq \o(AB,\s\up13(→)) · eq \o(PC,\s\up13(→)) ＝( eq \o(PB,\s\up13(→)) － eq \o(PA,\s\up13(→)) )· eq \o(PC,\s\up13(→)) ＝ eq \o(PB,\s\up13(→)) · eq \o(PC,\s\up13(→)) － eq \o(PA,\s\up13(→)) · eq \o(PC,\s\up13(→)) ＝| eq \o(PB,\s\up13(→)) |·| eq \o(PC,\s\up13(→)) |cos ∠BPC－0＝1×1×cos 60°＝ eq \f(1,2) . 角度2　利用数量积求长度 【例5】 (2023·山东滕州模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则| eq \o(BM,\s\up13(→)) |＝(　　) A． eq \f(3,4) B． eq \f(\r(3),4) C． eq \f(\r(3),3) D． eq \f(\r(3),2) D　解析：∵AB＝AD＝1，PA＝1， eq \o(BP,\s\up13(→)) ＝ eq \o(AP,\s\up13(→)) － eq \o(AB,\s\up13(→)) ， ∴ eq \o(BM,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) [ eq \o(AD,\s\up13(→)) ＋( eq \o(AP,\s\up13(→)) － eq \o(AB,\s\up13(→)) )]＝－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AP,\s\up13(→)) . ∵AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°， ∴ eq \o(BM,\s\up13(→)) 2＝(－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AP,\s\up13(→)) )2＝ eq \f(1,4) ( eq \o(AB,\s\up13(→)) 2＋ eq \o(AD,\s\up13(→)) 2＋ eq \o(AP,\s\up13(→)) 2)－ eq \f(1,2) × | eq \o(AB,\s\up13(→)) |·| eq \o(AP,\s\up13(→)) |·cos 60°＋ eq \f(1,2) ×| eq \o(AD,\s\up13(→)) |·| eq \o(AP,\s\up13(→)) |·cos 60°＝ eq \f(1,4) (1＋1＋1)－ eq \f(1,2) ×1×1× eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) ×1×1× eq \f(1,2) ＝ eq \f(3,4) ， ∴| eq \o(BM,\s\up13(→)) |＝ eq \f(\r(3),2) . 故选D. 角度3　利用数量积求夹角 【例6】 (1)(2023·江苏南京中华中学模拟)在空间直角坐标系O­xyz中，若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为(　　) A．1 B．－17 C．－1或－17 D．17或－1 (2)已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝ eq \r(14) ，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________________． (1)D　(2)120°　解析：(1)由题意，向量a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)， 可得a·b＝－2－λ－2＝－4－λ，|a|＝ eq \r(5＋λ2) ，|b|＝ eq \r(6) ， 因为a与b的夹角为120°，可得cos 120°＝ eq \f(a·b,|a||b|) ，即－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(－4－λ,\r(5＋λ2)·\r(6)) ， 整理得λ2－16λ－17＝0，解得λ＝－1或λ＝17. (2)设c＝(x，y，z)，∵向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝ eq \r(14) ，(a＋b)·c＝7， ∴a＋b＝(－1，－2，－3)，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2＋z2)＝\r(14)，,－x－2y－3z＝7.)) 设a与c的夹角为θ，cos θ＝ eq \f(a·c,|a||c|) ＝ eq \f(x＋2y＋3z,\r(14)×\r(14)) ＝－ eq \f(1,2) ， ∴θ＝120°. 【练4】 已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1， eq \r(7) ，则 eq \o(PM,\s\up13(→)) · eq \o(PN,\s\up13(→)) 的取值范围为(　　) A．[－2，－ eq \f(3,4) ] B．[－ eq \f(7,4) ，0] C．[－ eq \f(7,4) ，－ eq \f(3,4) ] D．[－2，0] D　解析：设外接球的半径为r，则2r＝ eq \r(1＋1＋7) ＝3，解得r＝ eq \f(3,2) . 设O是球心，则| eq \o(OP,\s\up13(→)) |∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) ，| eq \o(OP,\s\up13(→)) |2∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,4))) ， eq \o(PM,\s\up13(→)) · eq \o(PN,\s\up13(→)) ＝( eq \o(PO,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OM,\s\up13(→)) )·( eq \o(PO,\s\up13(→)) ＋ eq \o(ON,\s\up13(→)) )＝( eq \o(PO,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OM,\s\up13(→)) )·( eq \o(PO,\s\up13(→)) － eq \o(OM,\s\up13(→)) )＝ eq \o(PO,\s\up13(→)) 2－ eq \o(OM,\s\up13(→)) 2＝ eq \o(PO,\s\up13(→)) 2－ eq \f(9,4) ∈[－2，0]. 【练5】 (2023·四川绵阳模拟)如图，空间四边形OABC中，OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝ eq \f(π,2) ，∠AOB＝ eq \f(π,3) ，点M，N分别在OA，BC上，且OM＝2MA，BN＝CN，则MN＝(　　) A． eq \f(\r(22),3) B． eq \f(\r(46),3) C． eq \f(\r(34),3) D． eq \f(\r(21),3) A　解析：因为OM＝2MA，BN＝CN， 所以 eq \o(MN,\s\up13(→)) ＝ eq \o(ON,\s\up13(→)) － eq \o(OM,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OC,\s\up13(→)) )－ eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝－ eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(OC,\s\up13(→)) . 又OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝ eq \f(π,2) ，∠AOB＝ eq \f(π,3) ， 所以 eq \o(OA,\s\up13(→)) · eq \o(OC,\s\up13(→)) ＝0， eq \o(OB,\s\up13(→)) · eq \o(OC,\s\up13(→)) ＝0， eq \o(OA,\s\up13(→)) · eq \o(OB,\s\up13(→)) ＝| eq \o(OA,\s\up13(→)) || eq \o(OB,\s\up13(→)) |cos eq \f(π,3) ＝2， 所以 eq \o(MN,\s\up13(→)) 2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)\o(OA,\s\up13(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up13(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up13(→)))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(4,9) eq \o(OA,\s\up13(→)) 2＋ eq \f(1,4) eq \o(OB,\s\up13(→)) 2＋ eq \f(1,4) eq \o(OC,\s\up13(→)) 2－ eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up13(→)) · eq \o(OB,\s\up13(→)) － eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up13(→)) · eq \o(OC,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up13(→)) · eq \o(OC,\s\up13(→)) ＝ eq \f(4,9) | eq \o(OA,\s\up13(→)) |2＋ eq \f(1,4) | eq \o(OB,\s\up13(→)) |2＋ eq \f(1,4) | eq \o(OC,\s\up13(→)) |2－ eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up13(→)) · eq \o(OB,\s\up13(→)) ＝ eq \f(4,9) ×22＋ eq \f(1,4) ×22＋ eq \f(1,4) ×22－ eq \f(2,3) ×2＝ eq \f(22,9) ，所以| eq \o(MN,\s\up13(→)) |＝ eq \f(\r(22),3) . 【练6】 (2023·四川宜宾四中模拟)两个非零向量a，b，定义|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉．若a＝(1，0，1)，b＝(0，2，2)，则|a×b|＝________________． 答案：2 eq \r(3) 　解析：设向量a，b的夹角为θ. ∵a＝(1，0，1)，b＝(0，2，2)， ∴|a|＝ eq \r(2) ，|b|＝2 eq \r(2) ，a·b＝2， ∴cos θ＝ eq \f(a·b,|a|·|b|) ＝ eq \f(2,\r(2)×2\r(2)) ＝ eq \f(1,2) . ∵θ∈[0，π]， ∴sin θ＝ eq \f(\r(3),2) ， ∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝ eq \r(2) ×2 eq \r(2) × eq \f(\r(3),2) ＝2 eq \r(3) . $$