第7章 第4节 直线、平面垂直的判定与性质（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第七章　立体几何 第四节　直线、平面垂直的判定与性质 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 垂线 垂面 垂足 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 两条相交直线 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 相交 垂直 直线PA 交点A 垂线 垂足O 斜足A 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 两个半平面 棱 棱l 直角 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 直二面角 α⊥β 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 垂线 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 一个平面内有一条直线 交线 垂直 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 × × × × 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 课时作业(四十六) 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 谢谢观看！ 课标解读 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． 1．直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α相交，并且垂直于这个平面内的所有直线，那么就称直线l与平面α垂直．直线l叫作平面α的____，平面α叫作直线l的____，它们的交点叫作____． 2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的____________垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 3.直线到平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离． 4．直线和平面所成的角 名称 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α____，但不与这个平面α____，则直线l称为平面α的一条斜线，如图中________ 斜足 斜线l与平面α的______ 射影 过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作____，过______和______的直线AO称为斜线l在平面α上的投影 名称 有关概念 对应图形 直线 与平 面所 成的角 定义：平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角． 当直线l与平面α平行或在平面α内时，直线l与平面α所成的角是 0°. 当直线l与平面α垂直时，直线l与平面α所成的角是90° 取值 范围 直线l与平面α所成角的取值范围是[0°，90°] 5.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的__________所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的__，这两个半平面叫作二面角的面． ②二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于____的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角．平面角是____的二面角叫作直二面角． (2)平面和平面垂直的定义 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．若平面α，β互相垂直，则记作_______． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直 定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 两个平面垂直，如果____________________垂直于这两个平面的____，那么这条直线与另一个平面____ 1．判断正误 (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　　) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　　) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　　) 2．若a和α分别为空间中的直线和平面，则“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A　解析：若a⊥α，则a垂直α内所有直线，因此，命题“若a⊥α，则a垂直α内无数条直线”正确；a垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可以在平面α内，即不能推出a⊥α， 所以“a⊥α”是“a垂直于α内无数条直线”的充分不必要条件． 3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　) A．α∥γ 　 B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 　 D．以上都有可能 D　解析：若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α，γ可以平行，垂直，相交但不垂直． 4．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P­AC­O为45°，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4 eq \r(3) π C．AC＝2 eq \r(2) D．△PAC的面积为 eq \r(3) AC　解析：在△PAB中，由余弦定理得AB＝2 eq \r(3) ，如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝ eq \r(3) .对于A，该圆锥的体积V＝ eq \f(1,3) πr2 h＝π，故A选项正确；对于B，该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝2 eq \r(3) π，故B选项错误；对于C，取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P­AC­O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝ eq \r(AO2－OH2) ＝ eq \r(2) ，所以AC＝2 eq \r(2) ，故C选项正确；对于D，PH＝ eq \r(2) OH＝ eq \r(2) ，S△PAC＝ eq \f(1,2) ×AC×PH＝2，故D选项错误．故选AC. 5．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D A　解析：在正方体ABCD​​​­A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1. 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD.又BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确． 6．(忽视平面到空间的变化)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________________． 答案：平行、相交或异面　解析：若a，b，c在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；若在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能． 1.(多选)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法正确的是(　　) A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β D．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β ABD　解析：对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，所以存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β.故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，所以b⊂β或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确． 2．(2022·全国甲卷)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　) A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° D　解析：如图所示：不妨设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为∠B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为∠DB1A，所以sin 30°＝ eq \f(c,B1D) ＝ eq \f(b,B1D) ，即b＝c，B1D＝2c＝ eq \r(a2＋b2＋c2) ，解得a＝ eq \r(2) c. 对于A，AB＝a，AD＝b，AB＝ eq \r(2) AD，A错误； 对于B，过B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为∠BAE，因为tan ∠BAE＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(2),2) ，所以∠BAE≠30°，B错误； 对于C，AC＝ eq \r(a2＋b2) ＝ eq \r(3) c，CB1＝ eq \r(b2＋c2) ＝ eq \r(2) c，AC≠CB1，C错误； 对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C，sin ∠DB1C＝ eq \f(CD,B1D) ＝ eq \f(a,2c) ＝ eq \f(\r(2),2) ，而0＜∠DB1C＜90°，所以∠DB1C＝45°，D正确． 角度1　线面垂直的判定 【例1】 (2023·黑龙江双鸭山模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，AC1交A1C于点O，∠BAC＝90°，D为BC中点． (1)求证：C1A⊥平面A1B1C； (2)求直线B1C1与平面A1B1C所成的角． (1)证明：在正方形ACC1A1中，C1A⊥A1C. ∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC. 又∵侧面ABB1A1是正方形，∴AB⊥AA1. ∵AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1， ∴AB⊥平面ACC1A1. 而C1A⊂平面ACC1A1，则AB⊥C1A，而A1B1∥AB， ∴A1B1⊥C1A，而A1B1∩A1C＝A1. 又A1B1，CA1⊂平面A1B1C， ∴C1A⊥平面A1B1C. (2)解：连接OB1，如图所示． ∵ACC1A1为正方形， ∠BAC＝90°， ∴AC1⊥A1C，AC1⊥A1B1， 而A1B1∩CA1＝A1， A1B1，CA1⊂平面A1B1C， ∴AC1⊥平面A1B1C， ∴∠C1B1O为直线B1C1与平面A1B1C所成的角． ∵C1O＝ eq \f(1,2) C1A＝ eq \f(1,2) C1B1，∴∠C1B1O＝30°， ∴直线B1C1与平面A1B1C所成的角为30°. 角度2　线面垂直的性质 【例2】 (2023·山东莱西第一中学模拟)如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，AC＝BC，F是EB的中点． (1)求证：DF∥平面ABC； (2)求证：DF⊥平面EAB. 证明：(1)取AB的中点G，连接CG，FG. ∵F是EB的中点， ∴FG綊 eq \f(1,2) EA. ∵EA和DC都垂直于平面ABC，∴EA∥DC. ∵EA＝2DC，∴FG∥DC，FG＝DC， ∴四边形CDFG为平行四边形，从而DF∥CG. ∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC. (2)∵EA⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，∴CG⊥EA. ∵AC＝BC，BG＝GA，∴CG⊥AB， ∵EA∩AB＝A，EA，AB⊂平面EAB， ∴CG⊥平面EAB， 由(1)可知，DF∥CG，∴DF⊥平面EAB. 【练1】 (2023·山东临沂模拟)如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2. (1)求证：AC⊥平面BDE； (2)求AE与平面BDE所成角的大小． (1)证明：根据题意，由于四边形ABCD是正方形，则有AC⊥BD. 又由DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 则AC⊥DE， 而BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D， 故AC⊥平面BDE. (2)解：根据题意，设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示． 由于AC⊥平面BDE，则EO是直线AE在平面BDE上的射影， 故∠AEO即为AE与平面BDE所成的角． 在Rt△EAD中，EA＝ eq \r(4＋4) ＝2 eq \r(2) ， 在Rt△EOA中，AO＝ eq \r(2) ，则sin ∠AEO＝ eq \f(AO,EA) ＝ eq \f(1,2) ， 故∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°. 【练2】 (2023·辽宁沈阳二十中模拟)已知四棱锥P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，点E在AD上，且AE＝ eq \f(1,3) AD，BC＝3，O为AB的中点，PA＝PB，AB＝ eq \f(2,3) AD.证明：EC⊥PE. 证明：连接OE(图略)，因为平面PAB⊥平面ABCD，且PA＝PB，O为AB的中点， 所以PO⊥AB，所以PO⊥平面ABCD. 因为EC⊂平面ABCD，所以PO⊥EC. 因为四边形ABCD为矩形，BC＝AD＝3，CD＝AB＝ eq \f(2,3) AD＝2，所以AE＝ eq \f(1,3) AD＝1，DE＝2， 且EC＝ eq \r(22＋22) ＝2 eq \r(2) ，OE＝ eq \r(12＋12) ＝ eq \r(2) ，OC＝ eq \r(12＋32) ＝ eq \r(10) ， 所以OE2＋EC2＝OC2，所以OE⊥EC. 又因为PO∩OE＝O且PO，OE⊂平面POE， 所以EC⊥平面POE.因为PE⊂平面POE，所以EC⊥PE. 角度1　面面垂直的判定 【例3】 (2023·衡水中学模拟)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2，PA＝AB＝BC＝1. (1)证明：平面PAB⊥平面PBC； (2)求四棱锥P­ABCD的体积． (1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝ eq \r(3) . 因为PC＝2，BC＝1，PB＝ eq \r(3) ，所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB.因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB， 又PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB， 又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC. (2)解：在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示． 由(1)知BC⊥平面PAB. 因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD. 又平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊥AB，所以PE⊥平面ABCD. 因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝ eq \f(\r(3),2) . 因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥P­ABCD的体积为VP­ABCD＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×(1＋2)×1× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),4) . 角度2　面面垂直的性质 【例4】 (2023·江苏镇江八校联考)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形． 证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F. 因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC. 因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA. 过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA. 因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D， 所以PA⊥平面ABC. (2)如图，连接BE并延长交PC于点H. 因为点E是△PBC的垂心， 所以PC⊥BH. 又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以PC⊥AE. 因为AE∩BH＝E，AE，BH⊂平面ABE，所以PC⊥平面ABE. 又AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB. 由(1)知PA⊥平面ABC， 又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB. 因为PA∩PC＝P，且PA，PC⊂平面PAC， 所以AB⊥平面PAC. 又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形． 【练3】 (2023·江西赣州兴国县模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC＝60°，D，E分别为棱AB，B1C1的中点，F为线段C1E的中点． (1)证明：AF∥平面A1DE； (2)在棱BB1上是否存在一点G，使平面ACG⊥平面BB1C1C？若存在，请指出点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． (1)证明：如图，取A1C1的中点M，连接AM，EM，FM. 因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，故四边形AA1B1B为平行四边形，所以AB∥A1B1且AB＝A1B1. 因为D为AB的中点，则AD∥A1B1且AD＝ eq \f(1,2) A1B1. 因为M，E分别为A1C1，B1C1的中点， 所以EM∥A1B1且EM＝ eq \f(1,2) A1B1， 所以，AD∥EM且AD＝EM，故四边形ADEM为平行四边形，所以AM∥DE. 因为AM⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE， 所以AM∥平面A1DE. 因为M，F分别为A1C1，C1E的中点，所以FM∥A1E. 因为FM⊄平面A1DE，A1E⊂平面A1DE， 所以FM∥平面A1DE， 因为AM∩FM＝M，AM，FM⊂平面AFM， 所以平面AFM∥平面A1DE， 因为AF⊂平面AFM，所以AF∥平面A1DE. (2)解：当点G为BB1的中点时，平面ACG⊥平面BB1C1C. 因为四边形AA1C1C为矩形，则AC⊥CC1，因为BB1∥CC1，则BB1⊥AC. 因为四边形BB1C1C为菱形，则BC＝BB1， 因为∠B1BC＝60°，所以△B1BC为等边三角形， 因为G为BB1的中点，所以BB1⊥CG. 因为AC∩CG＝C，AC，CG⊂平面ACG， 所以BB1⊥平面ACG. 因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面ACG⊥平面BB1C1C， 因此，当点G为BB1的中点时，平面ACG⊥平面BB1C1C. 【练4】 如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PBD⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AB＝2CD＝4，BC＝ eq \r(10) ，PC＝ eq \r(6) ，PB＝2.求证：PD⊥AC. 证明：如图所示，过点D作DM⊥AB于点M，设AC与BD的交点为O.因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AB＝2CD＝4，BC＝ eq \r(10) ， 所以AD＝BC＝ eq \r(10) ，AM＝1. 所以cos ∠DAB＝ eq \f(AM,AD) ＝ eq \f(\r(10),10) . 在△ABD中，BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos ∠DAB＝18， 即BD＝3 eq \r(2) .又因为 eq \f(DO,OB) ＝ eq \f(1,2) ，所以DO＝ eq \r(2) ，OB＝2 eq \r(2) . 同理可得CO＝ eq \r(2) ，OA＝2 eq \r(2) . 因为DO2＋OC2＝CD2，所以AC⊥BD. 又因为平面PBD⊥平面ABCD，且平面PBD∩平面ABCD＝BD，AC⊂平面ABCD， 所以AC⊥平面PBD， 又因为PD⊂平面PBD，所以PD⊥AC. 【例5】 (1)(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C­AB­D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(　　) A． eq \f(1,5) B． eq \f(\r(2),5) C． eq \f(\r(3),5) D． eq \f(2,5) (2)如图，三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2 eq \r(3) 的正三角形，AA1＝3，AA1⊥AC，D为A1C1的中点，BD＝3 eq \r(3) ，则二面角A1­AC­B的正切值为__________． (1)C　(2)－ eq \r(3) 　解析：(1)如图所示，取AB的中点M，连接CM，DM，则CM⊥AB，DM⊥AB，又CM，DM⊂平面CMD，CM∩DM＝M，于是AB⊥平面CMD，∠CMD即为二面角C­AB­D的平面角，于是∠CMD＝150°.设AB＝2，则CM＝1，MD＝ eq \r(3) ，在△CMD中，由余弦定理可得CD＝ eq \r(3＋1－2×\r(3)×1×（－\f(\r(3),2)）) ＝ eq \r(7) .延长CM，过点D作CM的垂线，设垂足为H，则∠HMD＝30°，DH＝ eq \f(1,2) DM＝ eq \f(\r(3),2) ，MH＝ eq \f(\r(3),2) DM＝ eq \f(3,2) ，所以CH＝1＋ eq \f(3,2) ＝ eq \f(5,2) .因为DH⊂平面CMD， 则AB⊥DH，又DH⊥CM，AB，CM⊂平面ABC，AB∩CM＝M，所以DH⊥平面ABC，∠DCM即为直线CD与平面ABC所成角，于是在Rt△DCH中，tan ∠DCM＝ eq \f(DH,CH) ＝ eq \f(\r(3),5) . (2)取AC的中点E，连接ED，EB，如图所示． 因为点D为A1C1的中点，△ABC是边长为2 eq \r(3) 的正三角形， 所以DE＝AA1＝3，BE＝3，DE⊥AC，BE⊥AC， 所以∠BED为二面角A1ACB的平面角． 在△BED中，DE＝3，BE＝3，BD＝3 eq \r(3) ， 所以由余弦定理得cos ∠BED＝ eq \f(32＋32－（3\r(3)）2,2×3×3) ＝－ eq \f(1,2) ， 所以∠BED＝120°， 所以tan ∠BED＝－ eq \r(3) . 【练5】 (2023·江苏淮安模拟)周恩来纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体内接于半径R的球O(即所有顶点都在球上)，记正四棱锥侧面PB1C1与正方体底面A1B1C1D1所成二面角为θ，则tan θ＝_______． 答案： eq \r(3) －1　解析：由正方体的性质可知该组合体的外接球O的球心为正方体的中心． 设正方体底面A1B1C1D1的中心为O1，B1C1的中点为E，连接PO，O1E，PE， 则PE⊥B1C1，O1E⊥B1C1，则∠PEO1＝θ，设正方体的棱长为a，则PO＝ eq \f(\r(3),2) a，PO1＝ eq \f(\r(3),2) a－ eq \f(1,2) a，O1E＝ eq \f(1,2) a， ∴tan θ＝ eq \f(PO1,O1E) ＝ eq \r(3) －1. 【练6】 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． (1)证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D. ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC. 又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC. ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1. ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D， 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1， ∴D为CC1的中点． 又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1， 又在三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝A1C1， ∴A1C＝AC. (2)解：如图，连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F. ∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2， 又A1D＝1且A1C＝AC， ∴A1C＝A1C1＝AC＝ eq \r(2) ，AB＝A1B1＝ eq \r(5) ，BC＝ eq \r(3) . 建立空间直角坐标系C­xyz如图所示， 则C(0，0，0)，A( eq \r(2) ，0，0)，B(0， eq \r(3) ，0)，B1(－ eq \r(2) ， eq \r(3) ， eq \r(2) )，C1(－ eq \r(2) ，0， eq \r(2) )， ∴ eq \o(CB,\s\up13(→)) ＝(0， eq \r(3) ，0)，CC1＝(－ eq \r(2) ，0， eq \r(2) )，AB1＝(－2 eq \r(2) ， eq \r(3) ， eq \r(2) ). 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)y＝0，,－\r(2)x＋\r(2)z＝0，)) 取x＝1，则y＝0，z＝1， ∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1). 设AB1与平面BCC1B1所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，AB1〉|＝ eq \f(|n·AB1|,|n||AB1|) ＝ eq \f(\r(13),13) . ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 eq \f(\r(13),13) . $$