第7章 第3节 直线、平面平行的判定与性质（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第七章　立体几何 第三节　直线、平面平行的判定与性质 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 此平面内的一条直线平行 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 过该直线的平面与此平面相交 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 两条相交直线 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 平行 a∥b 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 × × × √ 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 课时作业(四十五) 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 谢谢观看！ 课标解读 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明． 1．直线与平面平行的判定 定理 表示 图形 文字 符号 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与______________________，那么该直线与此平面平行 若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果__________________________，那么该直线与交线平行 符号语言 若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b 图形语言 3.平面与平面平行的判定定理 定理 表示 图形 文字 符号 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，则α∥β 4.平面和平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线____ 符号语言 若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则______________ 图形语言 1．判断正误 (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　　) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　　) 2．(2023·广东茂名模拟)已知平面α，直线m，n满足m⊄a，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　) A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．必要而不充分条件 D．充分而不必要条件 D　解析：若“m∥n”，则“m∥α”成立，即充分性成立． ∵m∥α，∴m不一定平行n， 即“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件． 3．(2023·辽宁模拟)能使两个不同平面α与β平行的条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α，β垂直于同一个平面 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一条直线 D　解析：对于A，α内有无数条直线与β平行，则平面α与β相交或平行，故A错误； 对于B，α，β垂直于同一个平面，则平面α与β相交或平行，故B错误； 对于C，α，β平行于同一条直线，则平面α与β相交或平行，故C错误； 对于D，α，β垂直于同一条直线，则平面α与β平行，故D正确． 4．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH，则GH与EF的位置关系为(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 B　解析：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEHF＝GH，所以GH∥BC.同理可证，EF∥BC，因此GH∥EF. 5．在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　) A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G A　解析：由正方体可得EG∥E1G1，E1F∥GH1，EG∩GH1＝G，E1G1∩E1F＝E1，由面面平行的判定定理可知平面E1FG1与平面EGH1平行，故选A. 6．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________________． 答案：平行　解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO(图略).在△BDD1中，点O为BD的中点，点E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面AEC，EO⊂平面AEC，所以BD1∥平面AEC. 1．(2023·上海模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是(　　) A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β B．若m∥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β C．若m⊥n，m∥α，n∥β，则α∥β D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β C　解析：对于A，因为m⊥n，m⊥α，当n⊂α时，而n⊥β，则α⊥β， 当n⊄α时，在直线m上取点P，过P作直线n′∥n，则m⊥n′，过直线m，n′的平面γ∩α＝l，如图所示， 由m⊥α得m⊥l，于是得l∥n′∥n，而n⊥β，则l⊥β，而l⊂α，所以α⊥β，A正确； 对于B，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n∥β，则存在过直线n的平面，使得∩β＝c， 则有直线c∥n，即有c⊥α，所以α⊥β，B正确； 对于C，如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线m， 平面ADD1A1为平面β，直线B1C1为直线n，满足m⊥n，m∥α，n∥β，而α∩β＝AD，C不正确； 对于D，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，得α∥β，D正确． 2．(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝ eq \f(2,3) BD1，则下列说法正确的是(　　) A．MN∥平面APC B．C1Q∥平面APC C．A，P，M三点共线 D．平面MNQ∥平面APC BC　解析：如图，对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN. 易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以A选项错误．对于B，由A知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.所以B选项正确．对于C，由A知，A，P，M三点共线，所以C选项正确．对于D，由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以D选项错误． 角度1　直线与平面平行的判定 【例1】 (2023·河南开封模拟)如图，O1，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，AA1，BB1，CC1为圆台的母线，AB＝2A1B1＝8.证明：C1D∥平面OBB1O1. 证明：连接DE，O1E，因为C为圆O的直径AB所对弧的中点， 所以△BOC为等腰直角三角形，即∠OBD＝45°， 又D在圆E上，故△BED为等腰直角三角形， 所以EO1∥DC1，又EO1⊂平面OBB1O1，DC1⊄平面OBB1O1， 故C1D∥平面OBB1O1. 角度2　直线与平面平行的性质 【例2】 (2023·重庆巴蜀中学模拟)在四棱锥V­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，BC⊥平面VAB，VA⊥VB，设平面VAB与平面VCD 的公共直线为l.写出图中与直线l平行的直线，并证明． 证明：题图中与l平行的直线为AB 和CD， 因为底面ABCD 为平行四边形，所以CD∥AB， 因为CD⊄ 平面VAB，AB⊂ 平面VAB， 所以CD∥ 平面VAB， 因为平面VAB 与平面VCD 的交线l，CD⊂ 平面VCD， 所以CD∥l，即l∥CD，由平行线的传递性得，l∥AB. 【练1】 (2023·浙江宁波模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别是棱DD1，AB的中点． (1)若M为棱CC1上靠近C点的四等分点，求证：BM∥平面PQC； (2)若平面PQC与直线AA1交于R点，求平面PRQC将正方体分割成的上、下两部分的体积之比． (1)证明：如图，取PC的中点N，DC的中点G，连接NG，NM，NQ， 易得NG∥MC，且NG＝MC，∴四边形MNGC为平行四边形， ∴MN綊CG，又∵CG∥BQ，且CG＝BQ， ∴MN∥BQ，且MN＝BQ，∴四边形MNQB为平行四边形， ∴BM∥NQ，又∵BM⊄平面PQC，NQ⊂平面PQC， ∴BM∥平面PQC. (2)解：如图所示，延长CQ和DA，使其交于E点，连接PE，交A1A于点R， ∵Q是AB的中点，AQ∥DC， ∴A为ED的中点，又AR∥PD， ∴ eq \f(AQ,DC) ＝ eq \f(EA,ED) ＝ eq \f(RA,PD) ＝ eq \f(1,2) .∴RA＝ eq \f(1,2) ， V下＝VP­EDC－VR­AEQ＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×2×4×1－ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×2×1× eq \f(1,2) ＝ eq \f(7,6) ， V上＝V正方体－V下＝ eq \f(41,6) ， ∴ eq \f(V上,V下) ＝ eq \f(41,7) . 【练2】 (2023·山东济南模拟)如图，四边形ABCD为长方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l. (1)证明：DF∥平面PBE； (2)证明：DF∥l； (3)求三棱锥P­BDE的体积． (1)证明：如图，取PB中点G，连接FG，EG，因为点E，F分别为AD，PC的中点， 所以FG∥CB，FG＝ eq \f(1,2) BC，因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE， 因为DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE. (2)证明：由(1)知DF∥平面PBE，又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l， 所以DF∥l. (3)解：因为PD⊥平面ABCD， 所以PD为三棱锥P­BDE的高， 所以VP­BDE＝ eq \f(1,3) S△BDE×PD＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×2×2×2＝ eq \f(4,3) . 角度1　面面平行的判定 【例3】 如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又∵G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB， ∴A1G綊EB. ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E⊂平面EFA1，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 【变式探究】 在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M. ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点，连接MD. ∴D为BC的中点，∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1. ∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1. 又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. 角度2　面面平行的性质 【例4】 (2023·河北唐县第一中学模拟)如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BF⊥BC，BF＜CE，BF＝2，AB＝1，AD＝ eq \r(5) . (1)求证：BC⊥AF； (2)求证：AF∥平面DCE. 证明：(1)四边形ABCD为矩形，即AB⊥BC，又BF⊥BC，AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF＝B， 则有BC⊥平面ABF，而AF⊂平面ABF， 所以BC⊥AF. (2)因为BF∥CE，BF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，则BF∥平面CDE. 在矩形ABCD中，AB∥CD，AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，则AB∥平面CDE. 又AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF＝B，所以平面ABF∥平面CDE，而AF⊂平面ABF， 所以AF∥平面DCE. 【练3】 (2023·山东模拟)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，点E，F分别为边AA1，DD1的中点． (1)求三棱锥E­A1BC的体积； (2)证明：平面CFA1∥平面BDE. (1)解：显然三棱锥E­A1BC与三棱锥C­A1BE的体积相等，即. ∵平行六面体ABCD­A1B1C1D1为长方体， ∴三棱锥C­A1BE的高为BC，且三棱锥C­A1BE的底面面积即， ∴ 三棱锥E­A1BC的体积V＝ eq \f(1,3) Sh＝ eq \f(1,3) ×2×2＝ eq \f(4,3) . (2)证明：∵长方体ABCD­A1B1C1D1， ∵点E，F分别为边AA1，DD1的中点， ∴A1E＝DF，A1E∥DF， ∴四边形A1EDF为平行四边形， ∴A1F∥ED. 又A1F⊄平面BDE，ED⊂平面BDE，∴A1F∥平面BDE， 如图，连接AC交BD于点O，连接EO， ∴点O为AC的中点，∴EO∥A1C， 又A1C⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴A1C∥平面BDE. ∵A1C∩A1F＝A1，∴平面CFA1∥平面BDE. 【练4】 (2023·江苏模拟)在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求 eq \f(AD,DC) 的值． 解：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，如图所示． 由棱柱的性质可知，四边形AA1B1B为平行四边形，所以O为A1B的中点． 因为平面BC1D∥平面AB1D1，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1， 所以OD1∥BC1，则D1为A1C1的中点，则D1C1＝ eq \f(1,2) A1C1. 因为平面BC1D∥平面AB1D1，平面AA1C1C∩平面BC1D＝C1D，平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1， 所以AD1∥C1D. 又因为AD∥D1C1，所以四边形ADC1D1为平行四边形， 所以AD＝C1D1＝ eq \f(1,2) A1C1＝ eq \f(1,2) AC，因此 eq \f(AD,DC) ＝1. 【例5】 (2023·江苏扬中第二高级中学模拟)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN∥平面A1BD，则线段MN的最小值为(　　) A．1 B． eq \f(\r(6),2) C． eq \r(2) D． eq \r(3) B　解析：在正方体中，E，F，G，H，I，N分别是CD，DD1，A1D1，A1B1，BB1，BC的中点， 由正方体性质易知BD∥EN，而A1B∥D1C，EF∥D1C，则A1B∥EF， 由BD⊂平面A1BD，EN⊄平面A1BD，则EN∥平面A1BD，同理有EF∥平面A1BD， 由EN∩EF＝E，EN，EF⊂平面EFGHIN，故平面EFGHIN∥平面A1BD， 所以平面EFGHIN中的直线平行于平面A1BD. 由MN∥平面A1BD，则M在直线EF上运动，要使MN最小，只需MN⊥EF， 延长EF，C1C交于K，故只需求出△ENK底边EK上的高即可， 由已知可得CE＝CK＝CN＝1，则△ENK为边长为 eq \r(2) 的等边三角形， 所以底边EK上的高为 eq \f(\r(6),2) ，即MN最小值为 eq \f(\r(6),2) . 【练5】 (2023·湖南衡山模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，已知E，F，I分别是PB，PC，AB上一点，且 eq \f(BE,PE) ＝ eq \f(BI,IA) . (1)证明：EI∥平面PAD； (2)若EF∥平面ABCD，证明：平面EFI∥平面PAD. 证明：(1)△PAB中， eq \f(BE,PE) ＝ eq \f(BI,IA) ， 所以EI∥PA， 又因为EI⊄平面PAD，PA⊂平面PAD， 所以EI∥平面PAD. (2)因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD＝BC， 所以EF∥BC. 又因为BC∥AD，所以EF∥AD， 又因为EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 又因为EI∥平面PAD，且EF∩EI＝E， EF⊂平面EFI，EI⊂平面EFI， 所以平面EFI∥平面PAD. $$