第7章 第1节 空间几何体及其表面积、体积（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第七章　立体几何 第一节　空间几何体及其表面积、体积 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 平行 平行四边形 多边形 三角形 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 垂直 一点 一点 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 45°(或135°) 水平平面 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 平行 不变 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 2πrl πrl 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 S底h 4πR2 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 × × √ × 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 课时作业(四十二) 返回导航 第1轮 数学（X） 第七章　立体几何 谢谢观看！ 课标解读 1．利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 3．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． 1．几类简单多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 名称 棱柱 棱锥 棱台 含义 有两个面互相____，其余各面都是__________，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫作棱柱 有一个面是______，其余各面都是有一个公共顶点的______，像这样的多面体叫作棱锥 过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面平行的平面去截棱锥，截面与原棱锥底面之间的这部分多面体叫作棱台 名称 棱柱 棱锥 棱台 侧棱 平行且____ 相交于____但不一定相等 延长线交于____ 侧面 形状 __________ ______ ____ 2.几类简单旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，____于底面 相交于____ 延长线交于____ — 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截 面 全等的 ____ 全等的 __________ 全等的 ________ __ 侧面 展开 图 ____ ____ ____ — 3.空间几何体的直观图 斜二测画法主要用于画多面体的直观图，它的规则是： (1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. (2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝_____________，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示________． (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成____于x′轴、y′轴或z′轴的线段． (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度____；平行于y轴的线段，长度取原来的一半． 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 几何体 侧面展开图 侧面积公式 圆柱 S圆柱侧＝________ 圆锥 S圆锥侧＝______ 几何体 侧面展开图 侧面积公式 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l 5.柱、锥、台、球的表面积和体积 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝_________ 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ ____________ 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上 ＋S下 V＝ eq \f(1,3) (S上＋S下＋ eq \r(S上S下) )h 球 S表面积＝________ V＝________ eq \f(1,3) S底h eq \f(4,3) πR3 1．判断正误 (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　　) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．(　　　) (4)如果圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　　) 2．(多选)如图所示，关于该几何体的说法正确的是(　　) A．这是一个四棱台 B．这是一个四棱柱 C．此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到 D．此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到 BCD　解析：A错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；B正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；C，D如图所示，都正确． 3．如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．简单组合体 C　解析：由空间几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱． 4．(2023·山东济南高三一模)已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为(　　) A． eq \f(\r(2),4) B． eq \f(\r(6),4) C．2 eq \r(2) D．2 eq \r(6) B　解析：∵直观图对应的原图是一个边长为2的正三角形， ∴原图的面积是 eq \f(1,2) ×2×2×sin 60°＝ eq \r(3) . 由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系 eq \f(S直观图,S原图) ＝ eq \f(\r(2),4) ， 得直观图的面积为 eq \f(\r(2),4) × eq \r(3) ＝ eq \f(\r(6),4) . 5．(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝ eq \r(2) ，则该棱台的体积为________________． 答案： eq \f(7\r(6),6) 　解析：方法一　如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD­A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝ eq \r(2) ，O1B1＝ eq \f(\r(2),2) ， 所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝ eq \f(\r(2),2) ，又AA1＝ eq \r(2) ，所以BB1＝ eq \r(2) ，B1E＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(BB－BE2) ＝ eq \r(2－\f(1,2)) ＝ eq \f(\r(6),2) ，所以O1O＝ eq \f(\r(6),2) ，所以V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝ eq \f(1,3) ×(22＋12＋ eq \r(22×12) )× eq \f(\r(6),2) ＝ eq \f(7\r(6),6) . 方法二　如图，将正四棱台ABCD­A1B1C1D1补形成正四棱锥P­ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝ eq \r(2) ，所以PA＝2 eq \r(2) ，即PB＝2 eq \r(2) .连接BD，取BD的中点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝ eq \r(2) ，所以PO＝ eq \r(PB2－BO2) ＝ eq \r(6) ，所以正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高为 eq \f(\r(6),2) ，所以＝ eq \f(1,3) ×(22＋12＋ eq \r(22×12) )× eq \f(\r(6),2) ＝ eq \f(7\r(6),6) .(或者V四棱锥P­ABCD＝ eq \f(1,3) ×22× eq \r(6) ＝ eq \f(4\r(6),3) ，＝ eq \f(1,8) V四棱锥P­ABCD，所以＝V四棱锥P­ABCD－ ＝ eq \f(7,8) V四棱锥P­ABCD＝ eq \f(7,8) × eq \f(4\r(6),3) ＝ eq \f(7\r(6),6) ) 6．把长、宽分别为4，2的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为________________． 答案： eq \f(8,π) 或 eq \f(4,π) 　解析：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.当2πr＝4，l＝2时，r＝ eq \f(2,π) ，h＝l＝2，所以V圆柱＝πr2h＝ eq \f(8,π) . 当2πr＝2，l＝4时，r＝ eq \f(1,π) ，h＝l＝4，所以V圆柱＝πr2h＝ eq \f(4,π) . 综上所述，这个圆柱的体积为 eq \f(8,π) 或 eq \f(4,π) . 角度1　空间几何体的结构特征 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 BCD　解析：A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；D正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径).故选BCD. 2．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C．存在每个面都是直角三角形的四面体 D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 BC　解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等． 角度2　直观图 3．(2023·浙江镇海中学模拟)如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原图形的面积为(　　) A．1＋ eq \f(\r(2),2) B．2＋ eq \f(\r(2),2) C．2＋ eq \r(2) D．1＋ eq \r(2) B　解析：由题意可得原平面图如图所示，且B′C′＝1＋ eq \f(\r(2),2) ， 所以S原＝ eq \f(1,2) (A′D′＋B′C′)·A′B′＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(2),2))) ×2＝2＋ eq \f(\r(2),2) . 角度3　展开图4．(2022·海南海口二模)如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为(　　) A． eq \f(7\r(3),3) π B． eq \f(7\r(3),6) π C． eq \f(7\r(15),12) π D． eq \f(7\r(15),24) π D　解析：圆台的侧面展开图是一个扇环，设该扇环的圆心角为α， 则其面积为 eq \f(1,2) ×α×42－ eq \f(1,2) ×α×22＝3π，得α＝ eq \f(π,2) ， 所以扇环的两个圆弧长分别为π和2π. 设圆台的上底面圆半径、下底面圆半径分别为r1，r2，圆台的高为h， 则2πr1＝π，2πr2＝2π，所以r1＝ eq \f(1,2) ，r2＝1， 又圆台的母线长l＝4－2＝2， 所以圆台的高为h＝ eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(15),2) ， 所以圆台的体积为V＝ eq \f(1,3) π eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋12＋\f(1,2)×1)) × eq \f(\r(15),2) ＝ eq \f(7\r(15),24) π. 角度1　空间几何体的表面积 【例1】 (1)(2023·浙江温州中学模拟)若圆锥侧面展开图是圆心角为 eq \f(2π,3) ，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为(　　) A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．5∶3 (2)(2023·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　) A．4＋4 eq \r(2) B．4＋4 eq \r(3) C．12 D．8＋4 eq \r(2) (3)(2022·广东珠海期末)如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为16 eq \r(3) cm2 的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱冰块的侧面积的最大值为________cm2. INCLUDEPICTURE "2025版优化指导.高考总复习.第1轮.数学（配湘教版）教用/1T0068.TIF" \* MERGEFORMAT 　 (1) C　(2)A　(3)8 eq \r(3) π　解析：(1)由题，设圆锥底面圆半径为r，母线长为l， eq \f(2πr,2πl) ＝ eq \f(\f(2π,3),2π) ⇒r＝ eq \f(1,3) l＝ eq \f(1,3) ，S侧＝πrl＝ eq \f(π,3) ，S圆锥＝S侧＋πr2＝ eq \f(4π,9) ，故S圆锥∶S侧＝4∶3. (2)如图，连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面AA1B1B，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2， 所以A1C＝2 eq \r(2) ，BC＝ eq \r(2) .又AB⊥BC，则AB＝ eq \r(2) ， 则该三棱柱的侧面积为2× eq \r(2) ×2＋2×2＝4＋4 eq \r(2) . (3)设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a cm，由该圆锥轴截面的面积为16 eq \r(3) cm2，得 eq \f(1,2) a2sin 60°＝16 eq \r(3) ，所以a＝8，所以该圆锥底面圆半径为4 cm，高为4 eq \r(3) cm. 设圆锥中放置的圆柱的底面圆半径为x cm，高为h cm，其中0<x<4，0<h<4 eq \r(3) . 如图所示，由CD∥OB 可得 eq \f(CD,OB) ＝ eq \f(AC,AO) ，即 eq \f(x,4) ＝ eq \f(4\r(3)－h,4\r(3)) ， 所以h＝ eq \r(3) (4－x). 所以圆柱冰块的侧面积为S＝2πx·h＝2πx· eq \r(3) (4－x)＝－2 eq \r(3) π(x－2)2＋8 eq \r(3) π. 由二次函数的性质可得，当x＝2 时，S＝8 eq \r(3) π cm2最大． 【练1】 (2023·重庆西南大学附中模拟)如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠DAB＝90°，AD＝ eq \f(1,2) BC＝1，该梯形绕AB旋转形成的几何体体积为 eq \f(7\r(3)π,3) ，则该几何体的侧面积为________________． 答案：6π 　解析：由题意知，该几何体为圆台，上底S′＝π，下底S＝4π， 所以 eq \f(1,3) (π＋4π＋ eq \r(4π2) )·AB＝ eq \f(7\r(3)π,3) ，解得AB＝ eq \r(3) ，所以CD＝2, 则圆台的侧面积为2π(1＋2)＝6π. 角度2　空间几何体的体积 【例2】 (1)(2023·全国甲卷)在三棱锥P­ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝ eq \r(6) ，则该棱锥的体积为(　　) A．1 B． eq \r(3) C．2 D．3 (2)(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为 eq \r(3) ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝ eq \f(2π,3) ，若△PAB的面积等于 eq \f(9\r(3),4) ，则该圆锥的体积为(　　) A．π B． eq \r(6) π C．3π D．3 eq \r(6) π (3)(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________________． (1)A　(2)B　(3)28　解析：(1)如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝ eq \r(3) ，又PC＝ eq \r(6) ，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以V三棱锥P­ABC＝ eq \f(1,3) ×S△ABC×PD＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) × eq \r(3) ＝1. (2)根据题意，设该圆锥的高为h，即PO＝h，取AB的中点E，连接PE，OE， 由于圆锥PO的底面半径为 eq \r(3) ，即OA＝OB＝ eq \r(3) ， 而∠AOB＝120°， 故AB＝ eq \r(OA2＋OB2－2OA·OB·cos 120°) ＝ eq \r(3＋3＋3) ＝3，同时OE＝OA×sin 30°＝ eq \f(\r(3),2) ， △PAB中，PA＝PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB， 又由△PAB的面积等于 eq \f(9\r(3),4) ，即 eq \f(1,2) PE·AB＝ eq \f(9\r(3),4) ，变形可得PE＝ eq \f(3\r(3),2) ， 而PE＝ eq \r(h2＋\f(3,4)) ，则有h2＋ eq \f(3,4) ＝ eq \f(27,4) ，解得h＝ eq \r(6) ， 故该圆锥的体积V＝ eq \f(1,3) π×( eq \r(3) )2h＝ eq \r(6) π.故选B. (3)如图所示，正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P­ A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′­ABCD，且A′B′＝2，AB＝4.记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′­ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，连接PO，PH， O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2.易知△PO′H′∽△POH，所以 eq \f(PO′,PO) ＝ eq \f(O′H′,OH) ，即 eq \f(3,PO) ＝ eq \f(1,2) ，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝ eq \f(1,3) ×3×(22＋2×4＋42)＝28. 【练2】 (2023·上海模拟)在如图所示的三棱锥中，底面为等边三角形ABC，O 为AC 边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2，则三棱锥体积VP­ABC＝________________． 答案：1　解析：在三棱锥PABC中，因为PO⊥底面ABC，PO⊥AC，又因为O为AC边中点，AP＝AC＝2，所以△APC 为正三角形，PO＝ eq \r(3) .又因为底面为等边三角形ABC，所以S△ABC＝ eq \f(\r(3),4) ×4＝ eq \r(3) ，所以VP­ABC＝ eq \f(1,3) Sh＝ eq \f(1,3) S△ABC·PO＝1. 【练3】 如图，已知体积为V的三棱柱ABC­A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P­AA1C1C的体积为________________． 答案： eq \f(2V,3) 　解析：如图，把三棱柱ABC­A1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1­ADBC.设P到平面AA1C1C的距离为h，则 角度1　“相切”问题 【例3】 已知正四面体P­ABC的表面积为S1，此四面体的内切球的表面积为S2，则 eq \f(S1,S2) ＝________________． 答案： eq \f(6\r(3),π) 　解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S1＝4× eq \f(\r(3),4) ×a2＝ eq \r(3) a2，其内切球半径r为正四面体高的 eq \f(1,4) ，即r＝ eq \f(1,4) × eq \f(\r(6),3) a＝ eq \f(\r(6),12) a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝ eq \f(πa2,6) ，则 eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(\r(3)a2,\f(πa2,6)) ＝ eq \f(6\r(3),π) . 【变式探究】 本例中若把“正四面体”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球的体积为________________，内切球的体积为________________． 答案：32 eq \r(3) π　 eq \f(32π,3) 　解析：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4 eq \r(3) ，从而V外接球＝ eq \f(4,3) πR3＝ eq \f(4,3) π×(2 eq \r(3) )3＝32 eq \r(3) π，V内切球＝ eq \f(4,3) πr3＝ eq \f(4,3) π×23＝ eq \f(32π,3) . 【练4】 (2023·北京二中模拟)如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为(　　) A．64π B．40π C．84π D．72π D　解析：设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r＝3，圆锥的高h， 则R＝ eq \f(r,tan α) ＝ eq \f(3,tan α) ，h＝R·tan 2α＝ eq \f(3,tan α) ·tan 2α＝ eq \f(6,1－tan2α) ， 圆锥的体积V＝ eq \f(1,3) πR2h＝ eq \f(1,3) π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,tanα))) eq \s\up12(2) × eq \f(6,1－tan2α) ＝18π× eq \f(1,（tan2α）（1－tan2α）) ， 而0°<2α<90°，0°<α<45°， 所以0<tanα<1，1－tan2α>0， 又因为tan2α＋(1－tan2α)＝1为定值， 所以(tan2α)(1－tan2α)≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(tan2α＋1－tan2α,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(1,4) ， 当且仅当tan2α＝1－tan2α，即tanα＝ eq \f(\r(2),2) 时取等号，所以Vmin＝18π× eq \f(1,\f(1,2)×\f(1,2)) ＝72π. 角度2　“相接”问题 【例4】 (2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 eq \r(3) 和4 eq \r(3) ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π A　解析：设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1，r2，所以2r1＝ eq \f(3\r(3),sin 60°) ，2r2＝ eq \f(4\r(3),sin 60°) ，即r1＝3，r2＝4，设球心到上、下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，所以d1＝ eq \r(R2－9) ，d2＝ eq \r(R2－16) ，故|d1－d2|＝1 或d1＋d2＝1，即 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(R2－9)－\r(R2－16))) ＝1 或 eq \r(R2－9) ＋ eq \r(R2－16) ＝1，解得R2＝25 符合题意，所以该球的表面积为S＝4πR2＝100π. 【练5】 (2023·湖北宜昌夷陵中学模拟预测)已知正四面体ABCD的表面积为2 eq \r(3) ，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，求球O的体积． 解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a， 所以该正四面体的表面积为S＝4× eq \f(1,2) ×a× eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)) ＝ eq \r(3) a2＝2 eq \r(3) ，所以a＝ eq \r(2) ， 又正方体的面对角线可构成正四面体， 若正四面体棱长为 eq \r(2) ，可得正方体的棱长为1， 所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为 eq \r(3) ，半径为 eq \f(\r(3),2) ， 所以球O的体积为. $$