第2章 专题培优课2 指对幂式大小比较问题（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第二章　函　数 ◆专题培优课2　指对幂式大小比较问题 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 课时作业(十二) 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 谢谢观看！ 比较大小的问题，是高考命题中的热点问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序．这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答．从近两年命题情况看，题目的难度有增大趋势，往往需要构造转化． 【例1】 (1)(2023·北京海淀二模)已知x>y>0, 则(　　) A． eq \f(1,x) > eq \f(1,y) B．( eq \f(1,2) )x>( eq \f(1,2) )y C．cos x>cos y D．ln (x＋1)>ln (y＋1) (2)设a＝log32，b＝log53，c＝ eq \f(2,3) ，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b (1)D　(2)A　解析：(1)取x＝2，y＝1，利用排除法，逐一排除即可得结果． 因为x＝2，y＝1 时， eq \f(1,x) < eq \f(1,y) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(y) ，cos x<cos y，所以可排除选项A，B，C，故选D. (2)因为a＝ eq \f(1,3) log323< eq \f(1,3) log39＝ eq \f(2,3) ＝c，b＝ eq \f(1,3) log533> eq \f(1,3) log525＝ eq \f(2,3) ＝c，所以a<c<b. 【练1】 若a＝log2 eq \r(3) ，，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a B　解析：由题意＝ eq \f(\r(2),2) ，故b>c.又<＝2 eq \r(2) <3，即<3，所以log4<log43，即 eq \f(\r(2),2) <log43. 因为a＝log2 eq \r(3) ＝log43，所以c<a. 因为28＝256>243＝35，故log23< eq \f(8,5) < eq \r(3) ，即>3，所以log4>log43，所以 eq \f(\r(3),2) >log43，所以b>a，所以b>a>c. 【例2】 (2024·陕西西安一模)已知a＝ln eq \f(1,2) ，b＝ln (lg 2)，c＝lg (ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>c>a A　解析：先比较a，b，易知， 故ln (lg 2)<ln eq \f(1,2) ，即b<a. 又e<10，故当x>1 时，ln x>lg x； 当0<x<1 时，ln x<lg x, 故lg eq \f(1,2) >ln eq \f(1,2) ， 而ln 2> eq \f(1,2) ， 故lg (ln 2)>lg eq \f(1,2) >ln eq \f(1,2) ，有c>a. 综上，可得b<a<c. 【练2】 (2024·江西二模)已知，b＝sin eq \f(π,7) ，，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>c>a C　解析：，因为y＝sin x 在x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 上是单调递增函数，所以0<b＝sin eq \f(π,7) <sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) ，因为在[0，＋∞)上是单调递增函数，所以1>c＝＝ eq \f(1,2) ，所以a>c>b. 【例3】 (2023·泰安模拟)若a＝log23，b＝log34，c＝log45，则a，b，c 的大小关系是(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a D　解析：由题意，log23>log22＝1，log34>log33＝1，log45>log44＝1，即a>1，b>1，c>1， ∴a> eq \f(3,2) >b>1. 综上，a> eq \f(3,2) >b> eq \f(5,4) >c>1， 所以c<b<a. 【练3】 已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b A　解析：由题意可知a，b，c∈(0，1)， eq \f(a,b) ＝ eq \f(log53,log85) ＝ eq \f(lg 3,lg 5) · eq \f(lg 8,lg 5) < eq \f(1,（lg 5）2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3＋lg 8,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3＋lg 8,2lg 5))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 24,lg 25))) eq \s\up12(2) <1，∴a<b. 由b＝log85，得8b＝5，由55<84，得85b<84， ∴5b<4，可得b< eq \f(4,5) . 由c＝log138，得13c＝8，由134<85，得134<135c， ∴5c>4，可得c> eq \f(4,5) .综上所述，a<b<c. A　解析：在同一坐标系中分别画出y＝2x，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ，y＝log2x，y＝的图象，y＝2x 与y＝ 的图象的交点的横坐标为a，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 与y＝的图象的交点的横坐标为b，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 与y＝log2x 的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出a<b<c. 【练4】 (多选)(2024·河北邯郸一模)下列大小关系正确的是(　　) ABD　解析：作出y＝2x 和y＝x2 的图象，如图所示， 由图象可得，当x∈(0，2)时，2x>x2，则1.92<21.9， 当x∈(2，4)时，x2>2x，则22.9<2.92，故A，B正确． 令f (x)＝ eq \f(2x,2x－1) ，则f (x)＝1＋ eq \f(1,2x－1) ，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，所以，故C错误． log74－log127＝log74－ eq \f(1,log712) ＝ eq \f(log74·log712－1,log712) < eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log74＋log712,2)))\s\up12(2)－1,log712) ＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log748,2)))\s\up12(2)－1,log712) <0，所以log74<log127，故D正确． 【例5】 (多选)已知实数x，y满足log3x－log3y<( eq \f(1,3) )x－( eq \f(1,3) )y，则下列结论正确的是(　　) A． eq \f(1,x) > eq \f(1,y) B．x3<y3 C．2x-y<1 D．ln (y－x)>0 ABC　解析：因为log3x－log3y< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(y) 成立，所以x，y∈R＋，由log3x－log3y< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(y) 变形得log3x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) <log3y－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(y) ，令函数f (x)＝log3x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) ，因为y＝log3x，y＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) 都在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x)＝log3x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) 在(0，＋∞)上单调递增，log3x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) <log3y－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(y) ，即f (x)<f (y)，所以0<x<y，因为函数y＝ eq \f(1,x) 在(0，＋∞)上单调递减，所以 eq \f(1,x) > eq \f(1,y) ，A正确；因为函数y＝x3 在(0，＋∞)上单调递增，所以x3<y3，B正确； 因为x－y<0，且函数y＝2x 在(－∞，＋∞)上单调递增，所以2x－y<20＝1，C正确；因为y－x>0，所以ln (y－x)的符号可正可负，D错误．故选ABC. 【练5】 (2024·江苏扬州中学模拟)已知0<α<β< eq \f(π,4) ，则下列大小关系中正确的是(　　) A．(sin α)cos α>(sin α)cos β B．logsin αcos α>logsin αcos β C．(cos α)sin α>(cos β)sin β D．(cos α)sin β<(sin α)cos β C　解析：∵0<α<β< eq \f(π,4) ，∴0<sin α<cos α<1，且cos α>cos β，sin α<sin β. 构造函数y＝(sin α)x，∵函数y＝(sin α)x 在R上单调递减，∴(sin α)cos α<(sin α)cos β，A错误；构造函数y＝logsin αx，∵函数y＝logsin αx 在(0，＋∞)上单调递减，∴logsin αcos α<logsin αcos β，B错误； 构造函数y＝(cos α)x 及函数y＝xsin β，∵函数y＝(cos α)x 在R上单调递减，函数y＝xsin β 在(0，＋∞)上单调递增，(cos α)sin α>(cos α)sin β>(cos β)sin β，C正确；(cos α)sin β<(sin α)cos β⇔sin βln (cos α)<cos βln (sin α) ⇔ eq \f(sin β,cos β) > eq \f(ln （sin α）,ln （cos α）) ⇔tan β>logcos αsin α， ∵0<β< eq \f(π,4) ，∴0<tan β<1，又logcos αsin α>logcos αcos α＝1，∴tan β<logcos αsin α，D错误． 【例6】 (多选)已知正数x，y，z 满足3x＝8y＝15z，则下列说法正确的是(　　) A．2x－3y>0 B．2x－3y<0 C．x－5z>0 D．x－5z<0 AD　解析：∵x，y，z均为正数， ∴可设3x＝8y＝15z＝k>1，则x＝log3k，y＝log8k，z＝log15k， 对于A，B，2x－3y＝2log3k－3log8k＝log eq \r(3) k－log2k＝lg k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lg \r(3))－\f(1,lg 2))) ， ∵lg 2>lg eq \r(3) ，∴ eq \f(1,lg \r(3)) > eq \f(1,lg 2) ，又lg k>lg 1＝0， ∴2x－3y>0，A正确，B错误； 【练6】 (2024·广东茂名一模)已知x，y，z 均为大于0的实数，且2x＝3y＝log5z，则x，y，z 大小关系正确的是(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．z>x>y D．z>y>x C　解析：因为x，y，z 均为大于0的实数，所以令2x＝3y＝log5z＝t>1，进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x的图象与直线y＝t>1 的交点的横坐标的关系，故作出函数图象，如图，由图可知z>x>y. $$