第2章 专题培优课1 函数性质的综合问题（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第二章函数 ◆专题培优课1 函数性质的综合问题 》》》第二章函数 高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函 数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础 上，注重函数性质的综合应用的演练 子返回导能 》》》第二章函数 探究① 函数的单调性与奇偶性的综合 【例1】 (2023聊城二模)已知f(x)为R上的奇函数，f(2)=2,若对Vx,x2 ∈0，+，当时，畜有-of2m,则不等式+yu +1)>4的解集为( A.(-3,1) B.(-3,-1)U(-1,1) C.(-∞，-1)U(-1,1) D.(-∞，-3)U(1,+∞) 子返回导能 》》》第二章函数 B解折：la-2f]0D <0, 因为x1一x2>0,xx2>0所以xfx)一xf(x2)0,即xf(x1)xf(x2). 设g(x)=xf(x),则g(x)在(0，十∞)上单调递减. 而gx+1)=(x+1f(x+1)>4=2f(2)=g(2),则0<x+1<2,解得-1<x<1. 因为f(x)为R上的奇函数，所以g(一x)=一f(一x)=f(x)=gx), 则g()为R上的偶函数，故gc)在（一∞，0）上单调递增， gx+1)=(c+1)f(x+1)>4=g(-2),则-2<x+1<0,解得-3<x<-1. 综上，原不等式的解集为（一3，一1）U(-1,1) 令返回导社 》》》第二章函数 方法技巧 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关 于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函 数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单 调性. (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件， 把已知不等式转化成f(x1)>f(x)或f(x1)< ∫(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出 不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响. 子返回导融 © 》》》第二章函数 【练1】(2023·新疆三模)己知定义在R上的偶函数f(x)满足fx十6)=f(x), 且当x∈[0,3]时，f(x)=xe,则下面结论正确的是() A.f(In 3)f(e)f(-e) B.f(-e)f(In 3)f(e) C.f(e)<f(-e)f(In3) D.f(In 3)f(-e)f(e) 子返回导能 》》》第二章函数 A解析：当x∈[0,3]，f(x)=xe, f(x)=e(x十1)>0，.当x∈[0,3]时，f(x)单调递增. .f(x十6)=f(x),∴.x∈[18,21]时，f(x)单调递增. 又由fx)为偶函数，∴f(-e)=f(e). .f(x)满足f(x十6)=f(x), f(e)=f(e3-18). 又由1<ln3<2<e3-18<e, 得fIn3)f(e3-18)f(e), 故fn3)f(e)f(-e). 3返回导能① 》》》第二章函数 探究2 函数的奇偶性与周期性的综合 【例2】 (2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)+f(x一y) =fey0j0=1.则三f,=( A.-3 B.-2 C.0 D.1 令返回导社○ 》》》第二章函数 A解析：因为fx+y)十fx-y)=fx)f0y),令x=1,y=0,可得2f(I)=f(1/ (0),所以f0)=2.令x=0,可得f6y十f(一y)=2fGy),即f)=f(一y),所以函数 f(x)为偶函数.令y=1,得fx+1)十f(x一1)=f(x)f(1)=f),即fx+2)+fx) =f(x十1)，从而可知f(x十2)=一fx-1),f(x-1)=一f(x-4),故fx十2)=∫c 一4)，即fx)=f(x十6)，所以函数f()的一个周期为6. 因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f (-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以一个周期内的f(1) 十+f(2)十…+f(6)=0.由于22除以6余4， 所以2f)=f0+f02+f8+f④=1-1-2-1=-3. 子返回导能 》》》第二章函数 …·方法技巧 利用函数的奇偶性和周期性求解策略：周期性与奇 偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性结 合周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到 已知函数值或解析式的定义域内求解 e 返回导社○